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右图为一个开关阵列，每个开关只有“开”和“关”两种状态，按其中一个开关 $\displaystyle 1$ 次，将导致自身和所有相邻的开关改变状态．例如，按 $\displaystyle (2,2)$ 将导致 $\displaystyle (1,2)$，$\displaystyle (2,1)$，$\displaystyle (2,2)$，$\displaystyle (2,3)$，$\displaystyle (3,2)$ 改变状态．如果要求只改变 $\displaystyle (1,1)$ 的状态，则需按开关的最少次数为

【2012 大纲全国，20(2)】设函数 $\displaystyle f(x) = ax + \cos x$．若对任意 $\displaystyle x \in [0, \pi]$，都有 $\displaystyle f(x) \leqslant 1 + \sin x$，求 $\displaystyle a$ 的取值范围．
【2008 湖北，文 21 理 21(1)】已知数列 $\displaystyle \{a_{n}\}$ 和 $\displaystyle \{b_{n}\}$ 满足：$\displaystyle a_{1} = \lambda, a_{n+1} = \frac{2}{3}a_{n} + n - 4$，其中 $\displaystyle \lambda$ 为实数，$n$ 为正整数．对任意实数 $\displaystyle \lambda$，证明数列 $\displaystyle \{a_{n}\}$ 不是等比数列．
【2000 全国旧课程卷，20】（1）已知数列 $\displaystyle \{c_{n}\}$，其中 $\displaystyle c_{n} = 2^{n} + 3^{n}$，且数列 $\displaystyle \{c_{n+1} - pc_{n}\}$ 为等比数列，求常数 $\displaystyle p$；（2）设 $\displaystyle \{a_{n}\}, \{b_{n}\}$ 是公比不相等的两个等比数列，$\displaystyle c_{n} = a_{n} + b_{n}$，证明数列 $\displaystyle \{c_{n}\}$ 不是等比数列．
【2008 北京，文 20(2)】数列 $\displaystyle \{a_{n}\}$ 满足 $\displaystyle a_{1} = 1, a_{n+1} = (n^2 + n - \lambda) a_{n}$ ($\displaystyle n = 1, 2, \cdots$)，$\displaystyle \lambda$ 是常数．数列 $\displaystyle \{a_{n}\}$ 是否可能为等差数列？若可能，求出它的通项公式；若不可能，说明理由．
【2020 海南新高考适应性测试，22】已知数列 $\displaystyle \{a_{n}\}$ 的首项不为零，前 $\displaystyle n$ 项的和为 $\displaystyle S_{n}$，满足 $\displaystyle 2\sqrt{S_{n}} = a_{n} + c$．（1）证明：$\displaystyle c \leqslant 1$；（2）若 $\displaystyle c = 0$，证明：$\displaystyle S_{n} \geqslant (n+1)^{2}$；（3）是否存在常数 $\displaystyle c$，使得 $\displaystyle \{a_{n}\}$ 是等比数列？若存在，求出 $\displaystyle c$ 的所有可能值；若不存在，说明理由．
【2012 港澳台华侨联考，20】设等比数列 $\displaystyle \{a_{n}\}$ 的首项 $\displaystyle a_{1} = a > 0$，公比 $\displaystyle q = \frac{1}{2}$．数列 $\displaystyle \{b_{n}\}$ 的前 $\displaystyle n$ 项和 $\displaystyle S_{n} = n^{2} + 3n$．（1）求 $\displaystyle \{a_{n}\}$ 和 $\displaystyle \{b_{n}\}$ 的通项；（2）是否存在正数 $\displaystyle p$ 和 $\displaystyle r$ 使 $\displaystyle b_{n} + \log_{p} a_{n} = r$ 对任意正整数 $\displaystyle n$ 都成立？若存在，求 $\displaystyle p$ 和 $\displaystyle r$；若不存在，说明理由．
【2014 江苏，20(2)】设数列 $\displaystyle \{a_{n}\}$ 的前 $\displaystyle n$ 项和为 $\displaystyle S_{n}$．若对任意的正整数 $\displaystyle n$，总存在正整数 $\displaystyle m$ 使得 $\displaystyle S_{n} = a_{m}$，则称 $\displaystyle \{a_{n}\}$ 是“$\displaystyle H$ 数列”．设 $\displaystyle \{a_{n}\}$ 是等差数列，其首项 $\displaystyle a_{1} = 1$，公差 $\displaystyle d < 0$．若 $\displaystyle \{a_{n}\}$ 是“$\displaystyle H$ 数列”，求 $\displaystyle d$ 的值．
【2005 全国 II，文 2 理 2】正方体 $\displaystyle ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ 中，$\displaystyle P, Q, R$ 分别是 $\displaystyle AB, AD, B_{1}C_{1}$ 的中点，那么，正方体过 $\displaystyle P, Q, R$ 的截面图形是 \choices{A. 三角形}{B. 四边形}{C. 五边形}{D. 六边形}
【2012 课标全国，文 3】在一组样本数据 $\displaystyle (x_{1}, y_{1}), (x_{2}, y_{2}), \cdots, (x_{n}, y_{n})$ ($\displaystyle n \geqslant 2, x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}$ 不全相等) 的散点图中，若所有样本点 $\displaystyle (x_i, y_i)$ ($\displaystyle i = 1, 2, \cdots, n$) 都在直线 $\displaystyle y = \frac{1}{2}x + 1$ 上，则这组样本数据的样本相关系数为 \choices{A. $\displaystyle -1$}{B. $\displaystyle 0$}{C. $\displaystyle \frac{1}{2}$}{D. $\displaystyle 1$}
【2012 大纲全国，文 8 理 4】已知正四棱柱 $\displaystyle ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ 中，$\displaystyle AB = 2, CC_{1} = 2\sqrt{2}$，$E$ 为 $\displaystyle CC_{1}$ 的中点，则直线 $\displaystyle AC_{1}$ 与平面 $\displaystyle BED$ 的距离为 \choices{A. $\displaystyle 2$}{B. $\displaystyle \sqrt{3}$}{C. $\displaystyle \sqrt{2}$}{D. $\displaystyle 1$}
【2005 天津，11】设 $\displaystyle n \in \mathbb{N}^{*}$，则 $\displaystyle C_{n}^{1} + C_{n}^{2}6 + C_{n}^{3}62 + \cdots + C_{n}^{n}6{n-1} = $ \underline{\hspace{2em}}．
【2016 全国 III，文 18 理 18】下图是我国 2008 年至 2014 年生活垃圾无害化处理量 (单位：亿吨) 的折线图： [折线图展示了年份代码 $\displaystyle t$ 与年生活垃圾无害化处理量 $\displaystyle y$ 的关系] 注：年份代码 $\displaystyle 1-7$ 分别对应年份 2008 - 2014．（1）由折线图看出，可用线性回归模型拟合 $\displaystyle y$ 与 $\displaystyle t$ 的关系，请用相关系数加以说明；（2）建立 $\displaystyle y$ 关于 $\displaystyle t$ 的回归方程 (系数精确到 $\displaystyle 0.01$)，预测 2016 年我国生活垃圾无害化处理量．参考数据：$\displaystyle \sum_{i=1}^{7} y_i = 9.32, \sum_{i=1}^7 t_i y_i = 40.17, \sqrt{\sum_{i=1}^7 (y_i - \bar{y})^2} = 0.55, \sqrt{7} \approx 2.646$．参考公式：相关系数 $\displaystyle r = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2 \sum_{i=1}^n (y_i - \bar{y})^2}}$，回归方程 $\displaystyle \hat{y} = \hat{a} + \hat{b}t$ 中斜率和截距最小二乘估计公式分别为 $\displaystyle \hat{b} = \frac{\sum_{i=1}^n (t_i - \bar{t})(y_i - \bar{y})}{\sum_{i=1}^n (t_i - \bar{t})^2}$，$\displaystyle \hat{a} = \bar{y} - \hat{b}\bar{t}$．
【2021 全国甲，文 18】记 $\displaystyle S_n$ 为 $\displaystyle \{a_n\}$ 的前 $\displaystyle n$ 项和．已知 $\displaystyle a_n > 0, a_2 = 3a_1$，且数列 $\displaystyle \{\sqrt{S_n}\}$ 是等差数列，证明：$\displaystyle \{a_n\}$ 是等差数列．
【2013 江苏，19(2)】设 $\displaystyle \{a_n\}$ 是首项为 $\displaystyle a$，公差为 $\displaystyle d$ 的等差数列 ($\displaystyle d \neq 0$)，$\displaystyle S_n$ 为其前 $\displaystyle n$ 项的和．记 $\displaystyle b_n = \frac{nS_n}{n^2 + c}, n \in \mathbb{N}^{*}$，其中 $\displaystyle c$ 为实数．若 $\displaystyle \{b_n\}$ 是等差数列，证明：$\displaystyle c = 0$．
【2005 江苏，23】设数列 $\displaystyle \{a_n\}$ 的前 $\displaystyle n$ 项和为 $\displaystyle S_n$，已知 $\displaystyle a_1 = 1, a_2 = 6, a_3 = 11$，且 $\displaystyle (5n-8)S_{n+1} - (5n+2)S_n = An+B, n = 1, 2, 3, \cdots$．其中 $\displaystyle A, B$ 为常数．（1）求 $\displaystyle A$ 与 $\displaystyle B$ 的值；（2）证明数列 $\displaystyle \{a_n\}$ 为等差数列；（3）证明不等式 $\displaystyle \sqrt{S_{mn}} - \sqrt{a_m a_n} > 1$ 对任何正整数 $\displaystyle m, n$ 都成立．
【2012 江苏，20(2)】已知各项均为正数的两个数列 $\displaystyle \{a_n\}$ 和 $\displaystyle \{b_n\}$ 满足：$\displaystyle a_{n+1} = \frac{a_n + b_n}{\sqrt{a_n^2 + b_n^2}}, n \in \mathbb{N}^{*}$．设 $\displaystyle b_{n+1} = \sqrt{2} \cdot \frac{b_n}{a_n}, n \in \mathbb{N}^{*}$，且 $\displaystyle \{a_n\}$ 是等比数列，求 $\displaystyle a_1$ 和 $\displaystyle b_1$ 的值．
【2008 广东，文 5】函数 $\displaystyle f(x) = (1 + \cos 2x) \sin^2 x$ 是 \choices{A. 最小正周期为 $\displaystyle \pi$ 的奇函数}{B. 最小正周期为 $\displaystyle \frac{\pi}{2}$ 的奇函数}{C. 最小正周期为 $\displaystyle \pi$ 的偶函数}{D. 最小正周期为 $\displaystyle \frac{\pi}{2}$ 的偶函数}
【2012 大纲全国，文 6】已知数列 $\displaystyle \{a_n\}$ 的前 $\displaystyle n$ 项和为 $\displaystyle S_n$，$\displaystyle a_1 = 1, S_n = 2a_{n+1}$，则 $\displaystyle S_n = $ \choices{A. $\displaystyle 2^{n+1}$}{B. $\displaystyle \left( \frac{3}{2} \right)^{n-1}$}{C. $\displaystyle \left( \frac{2}{3} \right)^{n-1}$}{D. $\displaystyle \frac{1}{2^{n-1}}$}
【2021 全国乙，文 11】设 $\displaystyle B$ 是椭圆 $\displaystyle C: \frac{x^2}{5} + y^2 = 1$ 的上顶点，点 $\displaystyle P$ 在 $\displaystyle C$ 上，则 $\displaystyle |PB|$ 的最大值为 \choices{A. $\displaystyle \frac{5}{2}$}{B. $\displaystyle \sqrt{6}$}{C. $\displaystyle \sqrt{5}$}{D. $\displaystyle 2$}
【2005 湖北，文 15】函数 $\displaystyle y = |\sin x| \cos x - 1$ 的最小正周期与最大值的和为 \underline{\hspace{2em}}．
【2005 湖北，14】 $\displaystyle \left( \frac{x}{2} + \frac{1}{x} + \sqrt{2} \right)^5$ 的展开式中的常数项为
【2015 上海，11】在 $\displaystyle \left( 1 + x + \frac{1}{x^{2015}} \right)^{10}$ 的展开式中，$\displaystyle x^2$ 项的系数为 (结果用数字表示)
【2014 山东，文 13】一个六棱锥的体积为 $\displaystyle 2\sqrt{3}$，其底面是边长为 $\displaystyle 2$ 的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为
【2014 全国 II，4】钝角三角形 $\displaystyle ABC$ 的面积是 $\displaystyle \frac{1}{2}$，$\displaystyle AB = 1, BC = \sqrt{2}$，则 $\displaystyle AC = $ \choices{A. $\displaystyle 5$}{B. $\displaystyle \sqrt{5}$}{C. $\displaystyle 2$}{D. $\displaystyle 1$}
【2008 辽宁，4】复数 $\displaystyle \frac{1}{-2+i} + \frac{1}{1-2i}$ 的虚部是 \choices{A. $\displaystyle \frac{1}{5}i$}{B. $\displaystyle \frac{1}{5}$}{C. $\displaystyle -\frac{1}{5}i$}{D. $\displaystyle -\frac{1}{5}$}
【2007 湖北，文 7】将 $\displaystyle 5$ 本不同的书全发给 $\displaystyle 4$ 位同学，每名同学至少有一本书的概率是 \choices{A. $\displaystyle \frac{15}{64}$}{B. $\displaystyle \frac{15}{128}$}{C. $\displaystyle \frac{24}{125}$}{D. $\displaystyle \frac{48}{125}$}
【2007 全国 II，文 10】 $\displaystyle 5$ 位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有 \choices{A. $\displaystyle 10$ 种}{B. $\displaystyle 20$ 种}{C. $\displaystyle 25$ 种}{D. $\displaystyle 32$ 种}
【2014 全国 I，4】已知 $\displaystyle F$ 为双曲线 $\displaystyle C: x^2 - my^2 = 3m (m > 0)$ 的一个焦点，则点 $\displaystyle F$ 到 $\displaystyle C$ 的一条渐近线的距离为 \choices{A. $\displaystyle \sqrt{3}$}{B. $\displaystyle 3$}{C. $\displaystyle \sqrt{3m}$}{D. $\displaystyle 3m$}
【2022 北京，12】已知双曲线 $\displaystyle y^2 + \frac{x^2}{m} = 1$ 的渐近线方程为 $\displaystyle y = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}x$，则 $\displaystyle m = $
【2002 全国新课程卷，文 22 理 21】已知两点 $\displaystyle M(-1, 0), N(1, 0)$，且点 $\displaystyle P$ 使 $\displaystyle \vec{MP} \cdot \vec{MN}, \vec{PM} \cdot \vec{PN}, \vec{NM} \cdot \vec{NP}$ 成公差小于零的等差数列．（1）点 $\displaystyle P$ 的轨迹是什么曲线？（2）若点 $\displaystyle P$ 坐标为 $\displaystyle (x_0, y_0)$，$\displaystyle \theta$ 为 $\displaystyle \vec{PM}$ 与 $\displaystyle \vec{PN}$ 的夹角，求 $\displaystyle \tan \theta$．
【2001 全国新课程卷，文 22 理 22】设 $\displaystyle 0 < \theta < \frac{\pi}{2}$，曲线 $\displaystyle x^2 \sin \theta + y^2 \cos \theta = 1$ 和 $\displaystyle x^2 \cos \theta - y^2 \sin \theta = 1$ 有 $\displaystyle 4$ 个不同的交点．（1）求 $\displaystyle \theta$ 的取值范围；（2）证明这 $\displaystyle 4$ 个交点共圆，并求圆半径的取值范围．
【2006 广东，20】在平面直角坐标系中，已知矩形 $\displaystyle ABCD$ 的长为 $\displaystyle 2$ 个单位，宽为 $\displaystyle 1$ 个单位，$\displaystyle AB$ 边在 $\displaystyle x$ 轴上，$\displaystyle AD$ 边在 $\displaystyle y$ 轴上 (如图所示)．将矩形折叠，使 $\displaystyle A$ 点落在线段 $\displaystyle CD$ 上．（1）若折痕所在直线的斜率为 $\displaystyle k$，写出折痕所在直线的方程；（2）求折痕的长随的最大值． [此处有一矩形图示，顶点坐标分别为 $\displaystyle O(A), B$ 在 $\displaystyle x$ 轴上，$\displaystyle D$ 在 $\displaystyle y$ 轴上，$\displaystyle C$ 在第一象限]
【2014 上海，文 22 理 22(3)】在平面直角坐标系 $\displaystyle xOy$ 中，对于直线 $\displaystyle l: ax+by+c=0$ 和点 $\displaystyle P_1(x_1, y_1), P_2(x_2, y_2)$，记 $\displaystyle \eta = (ax_1+by_1+c)(ax_2+by_2+c)$．若 $\displaystyle \eta < 0$，则称点 $\displaystyle P_1, P_2$ 被直线 $\displaystyle l$ 分隔．若曲线 $\displaystyle C$ 与直线 $\displaystyle l$ 没有公共点，且曲线 $\displaystyle C$ 上存在点 $\displaystyle P_1, P_2$ 被直线 $\displaystyle l$ 分隔，则称直线 $\displaystyle l$ 为曲线 $\displaystyle C$ 的一条分隔线．动点 $\displaystyle M$ 到点 $\displaystyle Q(0, 2)$ 的距离与到 $\displaystyle y$ 轴的距离之积为 $\displaystyle 1$，设点 $\displaystyle M$ 的轨迹为曲线 $\displaystyle E$．（i）求 $\displaystyle E$ 的方程，并证明 $\displaystyle y$ 轴为曲线 $\displaystyle E$ 的分隔线；（ii）求证：通过原点的直线中，有且仅有一条直线是 $\displaystyle E$ 的分隔线．注：(i) 为文科题，(ii) 为理科题．
【2015 教育部新题型测试卷，12】类似于圆的切线，将与椭圆只有一个公共点的直线称为椭圆的切线．已知椭圆 $\displaystyle C: \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{2} = 1$ 的中心为 $\displaystyle O$，右顶点为 $\displaystyle A$，在线段 $\displaystyle OA$ 上任意选定一点 $\displaystyle M(m, 0) (0 < m < 2)$，过点 $\displaystyle M$ 作与 $\displaystyle x$ 轴垂直的直线交 $\displaystyle C$ 于 $\displaystyle P, Q$ 两点．（1）设 $\displaystyle m = 1$，在 $\displaystyle OM$ 的延长线上求一点 $\displaystyle N$，使得 $\displaystyle |OM|, |OA|, |ON|$ 成等比数列，并证明直线 $\displaystyle PN, QN$ 都是 $\displaystyle C$ 的切线；（2）通过解答（1），猜想求过椭圆 $\displaystyle \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 (a > b > 0)$ 上一点 $\displaystyle G(x_0, y_0) (x_0 \neq 0, y_0 \neq 0)$ 的切线方程的一种方法，并加以证明．

一列随机变量 $\displaystyle X_1, X_2, \dots, X_{100}$ 满足 $\displaystyle X_1 = 1, X_{n+1}$ 随机地在 $\displaystyle \{3X_n+1, \frac{X_n}{2}\}$ 中抽取，$\displaystyle n = 1, 2, \dots, 99$．证明：$\displaystyle X_{100}$ 是整数的概率小于 $\displaystyle 10^{-6}$．

(21)（本小题 15 分）

记 $\displaystyle |M|$ 表示有穷集合 $\displaystyle M$ 的元素个数. 已知 $\displaystyle m, n$ 是正整数, 集合 $\displaystyle S = \{1, 2, \cdots, n\}$. 若集合序列 $\displaystyle Q: A_1, A_2, \cdots, A_m$ 满足下列三个性质, 则称 $\displaystyle Q$ 是 “平衡序列”:

① $\displaystyle |A_k| \geqslant 2$, 其中 $\displaystyle k = 1, 2, \cdots, m$;

② $\displaystyle A_k \subsetneq S$, 其中 $\displaystyle k = 1, 2, \cdots, m$;

③ 对于 $\displaystyle S$ 中的任意两个不同元素 $\displaystyle i, j$, 都存在唯一的 $\displaystyle k \in \{1, 2, \cdots, m\}$, 使得 $\displaystyle \{i, j\} \subseteq A_k$.

（I）设 $\displaystyle m = n = 5$, 判断下列两个集合序列是否是 “平衡序列”? (结论不要求证明)

$\displaystyle Q_1: \{1, 2\}, \{1, 3, 4, 5\}, \{2, 3\}, \{2, 4\}, \{2, 5\}$

$\displaystyle Q_2: \{1, 2, 3\}, \{1, 4, 5\}, \{2, 4\}, \{3, 4\}, \{3, 5\}$

（II）已知 $\displaystyle n \geqslant 3$ 且集合序列 $\displaystyle Q: A_1, A_2, \cdots, A_m$ 是 “平衡序列”, 对于 $\displaystyle i = 1, 2, \cdots, n$, 定义:

$\displaystyle B_i = \{k | i \in A_k, k = 1, 2, \cdots, m\}$.

证明:

（i）当 $\displaystyle 1 \notin A_1$ 时, $\displaystyle |B_1| \geqslant |A_1|$;

（ii）$\displaystyle m \geqslant n$.

（2025年北京海淀区二模第 21 题）

一直说, 全国教育看北京, 北京教育看海淀. 海淀作为新定义题平均质量最高的地区, 我们还是非常愿意解析一下这道昨天刚考的新定义题.

【数列新定义】变换到常数数列 (2025年北京海淀区一模第 21 题) 个人解答

原创 Fiddie Fiddie数学杂谈

2025年4月8日 18:12 江苏听全文星标

今天分享 2025 年北京海淀区一模数学第 21 题. 这题看起来似乎比 2025 北京西城一模的第 21 题更容易书写步骤, 且这题第 (2) 问也比北京西城一模的第 (2) 问更亲民.

(2025年北京西城区一模第 21 题) 个人解答

设正整数 $\displaystyle n \geqslant 2$, 对于数列 $\displaystyle A: a_1, a_2, \cdots, a_n$, 定义变换 $\displaystyle T$, $\displaystyle T$ 将数列 $\displaystyle A$ 变换成数列 $\displaystyle T(A): a_1a_2, a_2a_3, \cdots, a_{n-1}a_n, a_na_1$. 已知数列 $\displaystyle A_0: a_1, a_2, \cdots, a_n$ 满足 $\displaystyle a_i \in \{-1, 1\} (i = 1, 2, \cdots, n)$.

记 $\displaystyle A_{k+1} = T(A_k) (k = 0, 1, 2, \cdots)$.

（I）若 $\displaystyle A_0: -1, 1, 1$, 写出数列 $\displaystyle A_1, A_2$;

（II）若 $\displaystyle n$ 为奇数且 $\displaystyle A_0$ 不是常数列, 求证: 对任意正整数 $\displaystyle k$, $\displaystyle A_k$ 都不是常数列;

（III）求证: 当且仅当 $\displaystyle n = 2^m (m \in \mathbb{N}^*)$ 时, 对任意 $\displaystyle A_0$, 都存在正整数 $\displaystyle k$, 使得 $\displaystyle A_k$ 为常数列.

【先猜后证+极限思想】2023年北京市海淀区二模数学第 21 题 (个人解答)

题目

(21)（本小题 15 分）

设 $\displaystyle \lambda$ 为整数. 有穷数列 $\displaystyle \{a_n\}$ 的各项均为正整数, 其项数为 $\displaystyle m (m \geqslant 2)$. 若 $\displaystyle \{a_n\}$ 满足如下两个性质, 则称 $\displaystyle \{a_n\}$ 为 $\displaystyle P_\lambda$ 数列:

① $\displaystyle a_m = 1$, 且 $\displaystyle a_i \neq 1 (i = 1, 2, \cdots, m-1)$;

② $\displaystyle a_{n+1} = \begin{cases} \displaystyle \lambda a_n + 1, & \displaystyle a_n \text{ 为奇数}, \\ \displaystyle \frac{a_n}{2}, & \displaystyle a_n \text{ 为偶数} \end{cases} (n = 1, 2, \cdots, m-1)$.

（I）若 $\displaystyle \{a_n\}$ 为 $\displaystyle P_1$ 数列, 且 $\displaystyle a_1 = 5$, 求 $\displaystyle m$;

（II）若 $\displaystyle \{a_n\}$ 为 $\displaystyle P_{-1}$ 数列, 求 $\displaystyle a_1$ 的所有可能值;

（III）若对任意的 $\displaystyle P_1$ 数列 $\displaystyle \{a_n\}$, 均有 $\displaystyle m \leqslant 2\log_2 a_1 + d$, 求 $\displaystyle d$ 的最小值.

第 (3) 问解答我们只解答第 (3) 问. 本题其实有个歧义, 第 (3)...

补充练习

题目: 给定一个边长为 100 的正方形, 用 99 条水平线和 99 条竖直线把这个正方形分成 10000 个小矩形, 请问: 面积不超过 1 的小矩形至少有多少个？说明理由.

(题目来源: 2019 年南京大学计算机拔尖班二次选拔考试)

\item \textbf{【2012北京理20节选】}设 $A$ 是由 $m \times n$ 个实数组成的 $m$ 行 $n$ 列的数表, 满足: 每个数的绝对值不大于 $1$, 且所有数的和为零. 记 $S(m,n)$ 为所有这样的数表构成的集合. 对于 $A \in S(m,n)$, 记 $r_i(A)$ 为 $A$ 的第 $i$ 行各数之和 ($1 \le i \le m$), $c_j(A)$ 为 $A$ 的第 $j$ 列各数之和 ($1 \leqslant j \leqslant n$); 记 $k(A)$ 为 $|r_1(A)|,|r_2(A)|,\cdots,|r_m(A)|,|c_1(A)|,|c_2(A)|,\cdots,|c_n(A)|$ 中的最小值。

（1）对如下数表 $A$, 求 $k(A)$ 的值；

\[ \begin{array}{|c|c|c|} \hline 1 & 1 & -0.8 \\ \hline 0.1 & -0.3 & -1 \\ \hline \end{array} \]

（2）设数表 $A \in S(2,3)$ 形如

\[ \begin{array}{|c|c|c|} \hline 1 & 1 & c \\ \hline a & b & -1 \\ \hline \end{array} \]

求 $k(A)$ 的最大值；

（Q1）证明：$a,b$满足约束条件：$|a|,|b|\leqslant 1,-2\leqslant a+b\leqslant 0$；

（Q2）证明：原问题等价于求解$\max\{ 1-a-b,1+a,1+b\}$；