矩阵计算作业一

您好，这是李教授在课堂上布置的作业，问题如下：

问题：给定\(A\in R^{m\times n}\)，\(R(A)\)是\(A\)的像空间，\(N(A)\)是\(A\)的零空间，证明：\(R(A)\)是\(R^m\)的子空间，\(N(A)\)是\(R^n\)的子空间。

证明：

（1）先证\(R(A)\)是子空间。

易知零向量\(0\in R(A)\)

任取\(\alpha,\beta\in R(A)\)由像空间定义，存在向量\(\gamma_1,\gamma_2\in R^n\)使得\(A\gamma_1=\alpha,A\gamma_2=\beta\)。

而\(\gamma_1+\gamma_2\in R^n,A(\gamma_1+\gamma_2)=A\gamma_1+A\gamma_2=\alpha+\beta\in R^m\)

故\(\alpha+\beta\in R(A)\)

由此证明了\(R(A)\)对加法封闭，下证明\(R(A)\)对数量乘法封闭。

任取\(\alpha\in R(A),k\in \text{数域}K\)，则存在向量\(\gamma\in R^n\)使得\(A\gamma=\alpha\)。

而\(k\gamma\in R^n,A(k\gamma)=kA\gamma=k\alpha\in R^m\)

故\(k\alpha\in R(A)\)

由此证明了\(R(A)\)对数量乘法封闭。

故\(R(A)\)是\(R^m\)的子空间。

（2）再证\(N(A)\)是子空间。

易知零向量\(0\in N(A)\)

任取\(\gamma_1,\gamma_2\in N(A)\)由零空间定义，\(A\gamma_1=0,A\gamma_2=0\)。

而\(\gamma_1+\gamma_2\in R^n,A(\gamma_1+\gamma_2)=A\gamma_1+A\gamma_2=0\)

故\(\gamma_1+\gamma_2\in N(A)\)

由此证明了\(N(A)\)对加法封闭，下证明\(N(A)\)对数量乘法封闭。

任取\(\alpha\in N(A),k\in \text{数域}K\)，则存在向量\(\gamma\in R^n\)使得\(A\gamma=0\)。

而\(k\gamma\in R^n,A(k\gamma)=kA\gamma=0\)

故\(k\gamma\in N(A)\)

由此证明了\(N(A)\)对数量乘法封闭。

故\(N(A)\)是\(R^n\)的子空间。