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【例 1.23】已知函数 \(\displaystyle f(x) = \frac{x^3 - x}{x^4 + 2x^2 + 1}\)，则 \(\displaystyle y = f(x)\) 的值域为 ______。

【例 2.21】（2014 四川文 21）已知函数 \(\displaystyle f(x) = e^x - ax^2 - bx - 1\)，若 \(\displaystyle g(x)\) 是函数 \(\displaystyle f(x)\) 的导函数，求函数 \(\displaystyle g(x)\) 在区间 \(\displaystyle [0, 1]\) 上的最小值。

【2024上海12】无穷等比数列 $ \displaystyle {a_n} $$ 满足首项 $ $ \displaystyle a_1 > 0, q > 1 $$，记 $ $ \displaystyle I_n = {x-y \mid x,y \in [a_1, a_2] \cup [a_n, a_{n+1}]} $，若对任意正整数 $ \displaystyle n $$ 集合 $$ \displaystyle I_n $$ 是闭区间，则 $$ \displaystyle q $ 的取值范围是

【2015上海理12】赌博有陷阱．某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有 $$ \displaystyle 1, 2, 3, 4, 5 $$ 的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的 $$ \displaystyle 1.4 $$ 倍作为其奖金（单位：元）．若随机变量 $$ \displaystyle \xi_1 $$ 和 $$ \displaystyle \xi_2 $$ 分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则 $$ \displaystyle E\xi_1 - E\xi_2 = $$（元）．

【2015上海理13】已知函数 $$ \displaystyle f(x) = \sin x $$．若存在 $$ \displaystyle x_1, x_2, \dots, x_m $$ 满足 $$ \displaystyle 0 \leqslant x_1 < x_2 < \dots < x_m \leqslant 6\pi $$，且 $$ \displaystyle |f(x_1) - f(x_2)| + |f(x_2) - f(x_3)| + \dots + |f(x_{m-1}) - f(x_m)| = 12 $$ ($$ \displaystyle m \geqslant 2, m \in \mathbb{N}^* $$)，则 $\(\displaystyle m\)$ 的最小值为

【2015上海理14】在锐角三角形 $$ \displaystyle ABC $$ 中，$$ \displaystyle \tan A = \frac{1}{2} $\(，\)$ \displaystyle D $$ 为边 $$ \displaystyle BC $$ 上的点，$$ \displaystyle \triangle ABD $$ 与 $$ \displaystyle \triangle ACD $$ 的面积分别为 $$ \displaystyle 2 $$ 和 $$ \displaystyle 4 $$．过 $$ \displaystyle D $$ 作 $$ \displaystyle DE \perp AB $$ 于 $$ \displaystyle E $\(，\)$ \displaystyle DF \perp AC $$ 于 $$ \displaystyle F $$，则 $ \displaystyle \overrightarrow{DE} \cdot \overrightarrow{DF} = $

【2015上海理23】对于定义域为 $\(\displaystyle \mathbb{R}\)$ 的函数 $\(\displaystyle g(x)\)$，若存在正常数 $$ \displaystyle T $$，使得 $$ \displaystyle \cos g(x) $$ 是以 $$ \displaystyle T $$ 为周期的函数，则称 $\(\displaystyle g(x)\)$ 为余弦周期函数，且称 $$ \displaystyle T $$ 为其余弦周期．已知 $\(\displaystyle f(x)\)$ 是以 $$ \displaystyle T $$ 为余弦周期的余弦周期函数，其值域为 $\(\displaystyle \mathbb{R}\)$．设 $\(\displaystyle f(x)\)$ 单调递增，$$ \displaystyle f(0) = 0, f(T) = 4\pi $$． （1）验证 $$ \displaystyle g(x) = x + \sin \frac{x}{3} $$ 是以 $$ \displaystyle 6\pi $$ 为周期的余弦周期函数； （2）设 $$ \displaystyle a < b $$，证明对任意 $$ \displaystyle c \in [f(a), f(b)] $$，存在 $$ \displaystyle x_0 \in [a, b] $$，使得 $$ \displaystyle f(x_0) = c $\(； （3）证明：“\)$ \displaystyle u_0 $$ 为方程 $$ \displaystyle \cos f(x) = 1 $$ 在 $$ \displaystyle [0, T] $$ 上得解，”的充要条件是“$$ \displaystyle u_0 + T $$ 为方程 $$ \displaystyle \cos f(x) = 1 $$ 在区间 $$ \displaystyle [T, 2T] $$ 上的解”，并证明对于任意 $$ \displaystyle x \in [0, T] $$，都有 $$ \displaystyle f(x+T) = f(x) + f(T) $$．

（平面向量）【2025上海12】已知 $$ \displaystyle f(x) = \begin{cases} 1, & x > 0 \ 0, & x = 0 \ -1, & x < 0 \end{cases} $\(，\)$ \displaystyle \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} $$ 是平面内三个不同的单位向量．若 $$ \displaystyle f(\vec{a} \cdot \vec{b}) + f(\vec{b} \cdot \vec{c}) + f(\vec{c} \cdot \vec{a}) = 0 $$，则 $$ \displaystyle |\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}| $$ 的取值范围是

【2025上海21】已知函数 $\(\displaystyle y = f(x)\)$ 的定义域为 $\(\displaystyle \mathbb{R}\)$．对于正实数 $\(\displaystyle a\)$，定义集合 $$ \displaystyle M_a = {x \mid f(x+a) = f(x)} $$． （1）若 $$ \displaystyle f(x) = \sin x $$，判断 $$ \displaystyle \frac{\pi}{3} $$ 是否是 $$ \displaystyle M_\pi $$ 中的元素，请说明理由； （2）若 $$ \displaystyle f(x) = \begin{cases} x+2, & x < 0 \ \sqrt{x}, & x \geqslant 0 \end{cases} $\(，\)$ \displaystyle M_a \neq \varnothing $$，求 $\(\displaystyle a\)$ 的取值范围； （3）若 $\(\displaystyle y = f(x)\)$ 是偶函数，当 $$ \displaystyle x \in (0, 1] $$ 时，$$ \displaystyle f(x) = 1 - x $$，且对任意 $$ \displaystyle a \in (0, 2) $$，均有 $$ \displaystyle M_a \subseteq M_2 $$．写出 $$ \displaystyle y = f(x), x \in (1, 2) $$ 解析式，并证明：对任意实数 $\(\displaystyle c\)$，函数 $$ \displaystyle y = f(x) - c $$ 在 $$ \displaystyle [-3, 3] $$ 上至多有 $$ \displaystyle 9 $$ 个零点．