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（6）【2010 湖南适应性训练，2】下列命题中的真命题是（A）\(\displaystyle \forall x \in \mathbb{R}, x^3 \geqslant x^2\) \quad （B）\(\displaystyle \forall x \in \mathbb{R}, x^3 < x^2\) （C）\(\displaystyle \forall x \in \mathbb{R}, \exists y \in \mathbb{R}, y^2 < x\) \quad （D）\(\displaystyle \exists x \in \mathbb{R}, \forall y \in \mathbb{R}, y \cdot x = y\)

（7）【2013 山东，文 8 理 7】给定两个命题 \(\displaystyle p, q\)．若 \(\displaystyle \neg p\) 是 \(\displaystyle q\) 的必要而不充分条件，则 \(\displaystyle p\) 是 \(\displaystyle \neg q\) 的（A）充分而不必要条件 \quad （B）必要而不充分条件（C）充要条件 \quad （D）既不充分也不必要条件

（1）【2023 浙江学考，23(1)】已知函数 \(\displaystyle f(x) = x^2 - 2x - \sin\left(\frac{\pi}{2}x\right)\)．求 \(\displaystyle f(x)\) 在区间 \(\displaystyle [0, 1]\) 上的最大值．

（4）【2020 全国 III，21(2)】设函数 \(\displaystyle f(x) = x^3 - \frac{3}{4}x + c\)．若 \(\displaystyle f(x)\) 有一个绝对值不大于 \(\displaystyle 1\) 的零点，证明：\(\displaystyle f(x)\) 所有零点的绝对值都不大于 \(\displaystyle 1\)．

（5）【2014 广东，文 21(2)】已知函数 \(\displaystyle f(x) = \frac{1}{3}x^3 + x^2 + ax + 1\)．当 \(\displaystyle a < 0\) 时，试讨论是否存在 \(\displaystyle x_0 \in (0, \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}, 1)\)，使得 \(\displaystyle f(x_0) = f(\frac{1}{2})\)．

（6）【2011 湖北，文 20(2)】设函数 \(\displaystyle h(x) = x^3 - 3x^2 + 2x\)．若方程 \(\displaystyle h(x) = mx\) 有三个互不相同的实根 \(\displaystyle 0, x_1, x_2\)，其中 \(\displaystyle x_1 < x_2\)，且对任意的 \(\displaystyle x \in [x_1, x_2]\)，\(\displaystyle h(x) < m(x-1)\) 恒成立，求实数 \(\displaystyle m\) 的取值范围．

（7）【2004 上海，20】已知二次函数 \(\displaystyle y = f_1(x)\) 的图象以原点为顶点且过点 \(\displaystyle (1, 1)\)，反比例函数 \(\displaystyle y = f_2(x)\) 的图象与直线 \(\displaystyle y = x\) 的两个交点间距离为 \(\displaystyle 8\)．\(\displaystyle f(x) = f_1(x) + f_2(x)\)．（1）求函数 \(\displaystyle f(x)\) 的表达式；（2）证明：当 \(\displaystyle a > 3\) 时，关于 \(\displaystyle x\) 的方程 \(\displaystyle f(x) = f(a)\) 有三个实数解．

（8）【2014 上海春，32】如果存在非零常数 \(\displaystyle c\)，对于函数 \(\displaystyle y = f(x)\) 定义域 \(\displaystyle \mathbb{R}\) 上的任意 \(\displaystyle x\)，都有 \(\displaystyle f(x+c) > f(x)\) 成立，那么称函数 \(\displaystyle f(x)\) 为“\(\displaystyle Z\) 函数”．（1）求证：若 \(\displaystyle y = f(x) (x \in \mathbb{R})\) 是单调函数，则它是“\(\displaystyle Z\) 函数”；（2）若函数 \(\displaystyle g(x) = ax^3 + bx^2\) 是“\(\displaystyle Z\) 函数”，求实数 \(\displaystyle a, b\) 满足的条件．

（9）【2006 安徽，4】设 \(\displaystyle a,b \in \mathbb{R}\)，已知命题 \(\displaystyle p: a=b\)；命题 \(\displaystyle q: \left(\frac{a+b}{2}\right)^2 \leqslant \frac{a^2+b^2}{2}\)，则 \(\displaystyle p\) 是 \(\displaystyle q\) 成立的（A）必要不充分条件（B）充分不必要条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件

（10）【2008 课标全国，文 7 理 6】已知 \(\displaystyle a_1 > a_2 > a_3 > 0\)，则使得 \(\displaystyle (1-a_i x)^2 < 1 (i=1,2,3)\) 都成立的 \(\displaystyle x\) 的取值范围是（A）\(\displaystyle (0, \frac{1}{a_1})\) （B）\(\displaystyle (0, \frac{2}{a_1})\) （C）\(\displaystyle (0, \frac{1}{a_3})\) （D）\(\displaystyle (0, \frac{2}{a_3})\)

（12）【2011 浙江，7】若 \(\displaystyle a, b\) 为实数，则“\(\displaystyle 0 < ab < 1\)”是“\(\displaystyle a < \frac{1}{b}\) 或 \(\displaystyle b > \frac{1}{a}\)”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件

（13）【2013 浙江，文 10】设 \(\displaystyle a,b \in \mathbb{R}\)，定义运算“\(\displaystyle \wedge\)”和“\(\displaystyle \vee\)”如下： \(\displaystyle a \wedge b = \begin{cases} a, a \leqslant b, \\ b, a > b, \end{cases} \quad a \vee b = \begin{cases} b, a \leqslant b, \\ a, a > b, \end{cases}\) 若正数 \(\displaystyle a, b, c, d\) 满足 \(\displaystyle ab \geqslant 4, c+d \leqslant 4\)，则（A）\(\displaystyle a \wedge b \geqslant 2, c \wedge d \leqslant 2\) （B）\(\displaystyle a \wedge b \geqslant 2, c \vee d \geqslant 2\) （C）\(\displaystyle a \vee b \geqslant 2, c \wedge d \leqslant 2\) （D）\(\displaystyle a \vee b \geqslant 2, c \vee d \geqslant 2\)

（14）【2005 北京春，文 8 理 8】若不等式 \(\displaystyle (-1)^n a < 2 + \frac{(-1)^{n+1}}{n}\) 对于任意正整数 \(\displaystyle n\) 恒成立，则实数 \(\displaystyle a\) 的取值范围是（A）\(\displaystyle [-2, \frac{3}{2})\) （B）\(\displaystyle (-2, \frac{3}{2})\) （C）\(\displaystyle [-3, \frac{3}{2})\) （D）\(\displaystyle (-3, \frac{3}{2})\)

【2010 安徽，文 15】若 \(\displaystyle a > 0, b > 0, a+b=2\)，则下列不等式对一切满足条件的 \(\displaystyle a, b\) 恒成立的是（1）\(\displaystyle ab \leqslant 1\)；（2）\(\displaystyle \sqrt{a} + \sqrt{b} \leqslant \sqrt{2}\)；（3）\(\displaystyle a^2 + b^2 \geqslant 2\)；（4）\(\displaystyle a^3 + b^3 \geqslant 3\)；（5）\(\displaystyle \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geqslant 2\)．