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\item \textbf{【2025成都三诊18】}已知函数 $f(x) = ax^2 + (a-2)x - \ln x$。

（1）讨论 $f(x)$ 的单调性；

（2）若 $f(x)$ 有两个零点，$f'(x)$ 为 $f(x)$ 的导函数.

（i）求实数 $a$ 的取值范围；

（ii）记 $f(x)$ 较小的一个零点为 $x_0$，证明：$x_0f'(x_0) > -2$。

\item \textbf{【2021雅礼中学高三第七次月考22】}已知函数$f(x)=e^x-ax,g(x)=\ln x-ax,a\in\mathbb{R}$，记函数$F(x)=f(x)-g(x)$的最小值为$m$，求$G(x)=e^x-e^m\ln x$的最小值。

\item 已知函数$\displaystyle f(x)=\sqrt{\frac{2x}{x+1}},g(x)=\frac{\sin x}{x}$。

（1）求$f(x)$的单调区间；

（2）证明：$\displaystyle-\frac{1}{4}<g(x)<1$

（3）设$x_1=\sqrt{2},x_{n+1}=f(x_n)$，证明：$\displaystyle x_1x_2\cdots x_n<\frac{\pi}{2} $

\item \textbf{【2024长沙市适应性考试21】}已知函数$\displaystyle f(x)=ax\ln x-x^2+1$.

（1）若$f(x)$有且仅有一个零点,求实数$a$的取值范围;

（2）证明:$\displaystyle (\ln2)^2+(\ln\frac{3}{2})^2+(\ln \frac{4}{3})^2+\cdots+(\ln\frac{n+1}{n})^2<1$.

要改造。

\item \textbf{【2023长沙市适应性考试22】}已知函数$\displaystyle f(x)=(2x^2-x)e^x$,其中$x>0$.

（1）求$f(x)$的最大值;

（2）若不等式$\displaystyle ax\geqslant e^x+|\ln x|$对于任意的$x\in(0,+\infty)$恒成立,求实数$a$的取值范围.

\item \textbf{【】}已知函数 $f(x) = (m+1)\sin x - x\cos x$，$x \in [0,\pi]$.

（1）当 $m = 0$ 时，求 $f(x)$ 的值域；

（2）若 $f(x)$ 存在唯一的极值且为极小值，求 $m$ 的取值范围；

（3）设 $n \in \mathbb{R}$，若存在 $m \in (-\infty,0)$ 使得 $m \leqslant \sqrt{2}(f(x) - n)$ 对 $x \in [0,\pi]$ 恒成立，求 $n$ 的最大值.

\item \textbf{【2024武汉二调19】}已知函数$\displaystyle f(x) = \frac{\mathrm{e}^x - 1}{x}$。

（1）求曲线$y = f(x)$在点$(1,f(1))$处的切线方程；

（2）证明：$f(x)$是其定义域上的增函数；

（3）若$f(x) > a^x$，其中$a > 0$且$a \ne 1$，求实数$a$的值。

\item \textbf{【】}设函数$\displaystyle f(x)=\tan x,g(x)=x+\frac{1}{3}x^3$，若$H(x)$函数的图象是一条连续的曲线，且满足$g(x)\leqslant H(x)\leqslant f(x)$，对$\displaystyle \forall x\in[0,\frac{\pi}{2})$，则称函数$H(x)$为“隔离曲线”，是否存在一条曲线$H(x)=ax^2+bx+c(a\neq0)$，使得$H(x)$为“隔离曲线”，若存在，求$a$的取值范围，否则说明理由。

\item \textbf{【2023长郡十八校第二次联考22】}已知函数$\displaystyle f(x)=k\cos x-\sin x$.

（1）若$k=1$,求$f(x)$在$(0,+\infty)$上的单调性;

（2）若存在$r>0$,对$\forall x\in(0,r)$,恒有$|f(x)|<x$,求实数$k$的取值范围.

要改造。

\item 已知函数$f(x) = a^x - a^{-x} - x$（其中$a > 0$且$a \ne 1$），若存在$x_0 \in (0, +\infty)$，使得$f(x_0) < 0$，则$a$的取值范围是

要改造。

\item 函数$\displaystyle f(x)=\sin x+\frac{1}{2}\sin2x-2x+ax^3$有且仅有一个零点，求$a$的取值范围。

\item 若函数 $\displaystyle f(x)=e^{ax}-\sin x$ 在 $\displaystyle \left(0,\frac{\pi}{2}\right)$ 内不单调，则实数 $a$ 的取值范围为？

\item \textbf{【】}若存在 $\displaystyle a > 0$ 和定义在 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上的 $\displaystyle f(x)$，使得 $\displaystyle f(x + a) = af(x)$，$\displaystyle f(x) \geqslant b^x$，求$\displaystyle b$ 的最大值

\textbf{【2026“数海漫游一模”（网络联考）19】}设$a>0$，函数$f(x)=\ln (a+x)\cdot \ln (a-x),x\in[0,a)$。

（1）若$a=1$，证明：$f'(x)\leqslant0$；

（2）若$f(x)$在$[0,a)$上不是单调函数，求$a$的取值范围。

\textbf{【2015湖南理21】}已知 $a>0$, 函数 $f(x)=\displaystyle \mathrm{e}^{ax}\sin x\ (x\in[0,+\infty))$, 记 $x_n$ 为 $f(x)$ 的从小到大的第 $n\ (n\in\mathbb{N}^*)$ 个极值点. 证明：

（1）数列 $\{f(x_n)\}$ 是等比数列；

（2）若 $\displaystyle a\geqslant \frac{1}{\sqrt{\mathrm{e}^2-1}}$, 则对一切 $n\in\mathbb{N}^*$, $x_n<|f(x_n)|$ 恒成立。