Untitled 5

已知\(y>0,\theta\in\mathbb{R},\displaystyle z=\frac{2\sin^2\theta+y^2}{y\sqrt{8\sin^2\theta+y^2}}\)，若\(y=f(\theta)\)时\(z\)取得最小值，函数\(f(\theta)\)的最大值为？

\item \textbf{【2012江苏14】}已知正数 \(a,b,c\) 满足 \(5c-3a \leqslant b \leqslant 4c-a, c\ln b \geqslant a + c\ln c\), 则 \(\displaystyle \frac{b}{a}\) 的取值范围是？

\textbf{【2021新高考I卷19（2）节选】}解比例方程

2.设\(a > 0\)，函数\(f(x) = a + x^2 + \ln(a - x^2)\)。

（1）若\(a \le 1\)，讨论\(f(x)\)的单调性；

（2）求\(f(x)\)的最大值。

6.已知函数\(f(x) = a^{x - 1} - \log_a(x - 1)\)（其中\(a > 0\)，且\(a \ne 1\)）为其定义域上的单调函数，则实数\(a\)的取值范围为？

7.求函数 \(\displaystyle f(x) = \cos x \cos 2x \cos 4x - \frac{1}{8}\tan 4x\) 在 \([0,4\pi]\) 上所有零点之和。

12.\textbf{【2021武汉四调22】}已知函数 \(f(x) = \ln(x + 1) - x + a(1 - \cos x)\)。

（2）若存在正实数 \(t\)，使得当 \(x \in (-t, t)\) 时，有 \(xf(x) \ge 0\) 恒成立，求 \(a\) 的值。

14.\textbf{【2026“数海漫游一模”（网络联考）19】}设\(a>0\)，函数\(f(x)=\ln (a+x)\cdot \ln (a-x),x\in[0,a)\)。

（1）若\(a=1\)，证明：\(f'(x)\le0\)；

（2）若\(f(x)\)在\([0,a)\)上不是单调函数，求\(a\)的取值范围。

1.已知函数 \(f(x)=\sin x+\ln x\)，将 \(f(x)\) 的所有极值点按照由小到大的顺序排列，得到数列 \(\{x_n\}\)，对于任意的正整数 \(k\)，则

（A） \(x_{k+1}-x_k<\pi\) （B）\(x_{2k-1}\) 是极大值点

（C）\(x_{2k+1}-x_{2k-1}<2\pi\) （D） \(f(x_{2k+1})>f(x_{2k-1})\)

2.若函数\(f(x) = \mathrm{e}^x + \cos ax + (a - 1)x\)存在最小值，则\(a\)的取值范围是？

4.若关于\(x\)的不等式\(2+\ln x\le ax+b\le e^x\)恒成立，则实数\(a\)的取值范围是

（A） \(\displaystyle \left[\frac{1}{e},1\right]\) （B）\([1,\sqrt{e}]\) （C） \([1,e]\) （D） \(\left[\frac{1}{e},e\right]\)

2.利用反证法完成下列证明：

（i）证明：\(\sqrt{2},\log_23\)是无理数；

\textbf{【2018新题型测试卷20】}对于函数\(f(x)\)，若\(f(x_0)=x_0\)，则称\(x_0\)为\(f(x)\)的不动点，设\(f(x)=x^3+ax^2+bx+3\)。

（1）当\(a=0\)时：

（i）求\(f(x)\)的极值点；

（ii）若存在\(x_0\)既是\(f(x)\)的极值点，也是\(f(x)\)的不动点，求\(b\)；

（2）判断是否存在\(a,b\)，使得\(f(x)\)有两个极值点，且这两个极值点均为\(f(x)\)的不动点，并说明理由。

6.记数列\(\{a_n\}\)的前\(n\)项和为\(S_n\)，若\(S_n+(-1)^n a_n = n^2 - 1\)，则\(a_1 =\)

（A） 1 （B） 5 （C） 9 （D） 13

13.\textbf{【2026“数海漫游一模”（网络联考）7】}已知 \(\displaystyle P\left(\frac{3}{5}, \frac{4}{5}\right)\) 是圆 \(O: x^2 + y^2 = r^2\) 上一点，\(A(4,0)\)，过点 \(P\) 作圆 \(O\) 的切线 \(l\)，与 \(AP\) 的中垂线交于 \(M\) 点，则 \(M\) 点的横坐标是？

14.\textbf{【2013湖南文15】}对于$E=\left { a_1,a_2,\cdots ,a_{100}\right } \(的子集\)X=\left { a_{i_1},a_{i_2},\cdots ,a_{i_k} \right } \(，定义\)X\(的“特征数列”为\)x_1,x_2,\cdots ,x_{100}\(，其中\)x_{i_1}=x_{i_2}=\cdots=x_{i_k}=1\(，其余项均为0，例如子集\)\left { a_2,a_3 \right } \(的“特征数列”为\)0,1,1,0,0,\cdots,0\(。若\)E\(的子集\)P\(的“特征数列”\)p_1,p_2,\cdots ,p_{100}\(满足\)p_i+p_{i+1}=1,1\le i\le 99\(，\)E\(的子集\)Q\(的“特征数列”\)q_1,q_2,\cdots ,q_{100}\(满足\)q_1=1,q_j+q_{j+1}+q_{j+2}=1,1\le j\le 98\(，则\)P\cap Q$的元素个数是？

15.已知椭圆\(E:\displaystyle \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1(a > b > 0)\)过点\((0,1)\)，且焦距为\(2\sqrt{3}\)。

（1）求椭圆\(E\)的标准方程；

（2）过点\(S(1,0)\)作两条互相垂直的弦\(AB,CD\)，设弦\(AB,CD\)的中点分别为\(M,N\)。证明：直线\(MN\)必过定点；

17.\textbf{【2014湖南卷理20】}已知数列$\left { a_n \right } \(满足\)a_1=1,|a_{n+1}-a_n|=p,n\in\mathbb{N^*}$。

（1）若$\left { a_n \right } \(是递增数列，且\)a_1,2a_2,3a_3\(成等差数列，求\)p$的值；

（2）若\(\displaystyle p=\frac{1}{2}\)，且$\left { a_{2n-1} \right } \(是递增数列，\)\left { a_{2n} \right } \(是递减数列，\)a_2>a_1\(，求数列\)\left { a_n \right } $的通项公式。

18.在平面直角坐标系\(xOy\)中，已知\(\triangle ABC\)，其中\(B,C\)在\(x\)轴上，以\(E(0,1)\)为圆心的圆内切于\(\triangle ABC\)，与边\(AB\)切于点\(M\)，且\(|AM|\)等于点\(A\)到\(x\)轴的距离。

（1）求点\(A\)运动轨迹的方程；

（2）求\(\triangle ABC\)的面积的最小值。

1.已知复数\(z=a+b\text{i}(a,b\in\mathbb{R},\text{i为虚数单位})\)，若\(|z|=1,|z-\text{i}|=1\)，则\(|z-2\text{i}|=\)

（A）\(2\)（B）\(\sqrt{3}\)（C）\(\sqrt{2}\)（D）\(1\)

2.\textbf{【“神算杯一模”（A卷）（网络联考）3】}若椭圆\(2x^2+y^2=c\)的焦距为\(2\sqrt{2}\)，则\(c=\)

（A）\(\sqrt{2}\)（B）\(2\)（C）\(2\sqrt{2}\)（D）\(4\)

3.\textbf{【2016浙江学考14】}若$\left { a_n \right } $是无穷等比数列，则下列数列可能不是等比数列的是

（A）$\left { a_{2n} \right } \(（B）\)\left { a_{2n-1} \right } $ （C）$\left { a_na_{n+1} \right } \(（D）\)\left { a_n +a_{n+1}\right } $

4.\textbf{【2023安徽六校联考6改编】}数列 \(\{a_n\}\) 是等比数列，则对于“对于任意的 \(n \in \mathbb{N}^*\)，\(a_{n+2} > a_n\)”是“\(\{a_n\}\) 是递增数列”的

（A） 充分不必要条件 （B）必要不充分条件

（C）充要条件 （D） 既不充分也不必要条件

5.\textbf{【2026江南十校高三联考5】}已知双曲线\(\displaystyle C:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{2}=1(a>0)\)，在双曲线\(C\)左支上任取两个不同的点\(P_1(x_1,y_1)\)，\(P_2(x_2,y_2)\)，都有\(x_1x_2+y_1y_2>0\)，则双曲线\(C\)的离心率\(e\)的最大值为

（A）\(\sqrt{3}\) （B） \(3\) （C） \(\sqrt{2}\) （D） \(2\)

9.已知等比数列\(\{a_n\}\)的公比为\(q(q>0)\)，前\(n\)项积为\(T_n\)，若\(T_7>T_6>T_8\)，则

（A） \(0<q<1\) （B） \(q>1\) （C） \(T_3>1>T_4\) （D） \(T_4>1>T_5\)

10.\textbf{【2023福建省质检11】}已知抛物线\(C\)的焦点为\(F\)，准线为\(l\)，点\(P\)在\(C\)上，\(PQ\)垂直\(l\)于点\(Q\)，直线\(QF\)与\(C\)相交于\(M,N\)两点。若\(M\)为\(QF\)的三等分点，则

（A） \(\displaystyle \cos\angle PQM=\frac{1}{2}\) （B） \(\displaystyle \sin\angle QPM=\frac{2\sqrt{7}}{7}\)

（C） \(NF=QF\) （D） \(PN=\sqrt{3}PQ\)

13.已知椭圆 \(\displaystyle \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\) 和双曲线 \(\displaystyle \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1\) 的离心率分别为 \(\displaystyle e_1, e_2\)，且 \(\displaystyle e_1e_2 = 1\)，则 $\displaystyle e_1 $的值为？

14.棱长为 \(a\) 的正方体盒子中装有半径分别为1和2的两个铁球，则 \(a\) 的最小值为？

16.\textbf{【2026浙南、精诚、金兰、七彩阳光高三返校考17】}已知函数\(f(x)=e^x\sin x\)。

（1）求\(f(x)\)的单调区间；

（2）判断函数\(g(x)=f(x)-x\)在\([0,\pi]\)零点的个数。

17.等差数列$\left { a_n \right } \(与等比数列\)\left { b_n \right } \(均为无穷实数列，各项均为正数且\)a_1=b_1,a_2=b_2$。

（1）证明：\(a_{n+1}\ge a_n\)；（2）证明：\(a_n\le b_n\)；

18.\textbf{【2023福建省质检21】}已知圆\(A_1:(x+1)^2+y^2=16\)，直线\(l\)过点\(A_2(1,0)\)且与圆\(A_1\)交于点\(B,C\)，\(BC\)中点为\(D\)，过\(A_2C\)中点\(E\)且平行于\(A_1D\)的直线交\(A_1C\)于点\(P\)，记\(P\)的轨迹为\(\Gamma\)。

（1）求\(\Gamma\)的方程；

（2）坐标原点\(O\)关于\(A_1,A_2\)的对称点分别为\(B_1,B_2\)，点\(A_1,A_2\)关于直线\(y=x\)的对称点分别为\(C_1,C_2\)，过\(A_1\)的直线\(l_2\)与\(\Gamma\)交于点\(M,N\)，直线\(B_1M,B_2N\)相交于点\(Q\)。请从下列结论中，选择一个正确的结论并给予证明。

（i）\(\triangle QB_1C_1\)的面积是定值；（ii） \(\triangle QB_1B_2\)的面积是定值；

（iii）\(\triangle QC_1C_2\)的面积是定值。