概率论与数理统计第四章
记忆并推导常见分布的期望与方差
| 分布 | 表示 | \(EX\) | \(DX\) |
|---|---|---|---|
| 二项分布 | \(B(n,p)\) | \(np\) | \(np(1-p)\) |
| 几何分布 | \(\displaystyle \frac{1}{p}\) | \(\displaystyle \frac{1-p}{p^2}\) | |
| 泊松分布 | \(P(\lambda)\) | \(\lambda\) | \(\lambda\) |
| 均匀分布 | \(U[a,b]\) | \(\displaystyle \frac{a+b}{2}\) | \(\displaystyle \frac{(b-a)^2}{12}\) |
| 指数分布 | \(E(\lambda)\) | \(\displaystyle \frac{1}{\lambda}\) | \(\displaystyle \frac{1}{\lambda^2}\) |
| 正态分布 | \(N(\mu,\sigma^2)\) | \(\mu\) | \(\sigma^2\) |
（期中几乎必考）切比雪夫不等式
切比雪夫不等式：对某随机变量\(X\)，假设其方差，期望存在，任取正整数\(\varepsilon\)，有\(\displaystyle P(|X-EX|\ge \varepsilon )\le\frac{DX}{\varepsilon ^2}\)
Info
借此可以证明：随机变量方差为0是随机变量为常数的充要条件。
此不等式可变形为：记\(\varepsilon_0\)为\(k\)倍标准差（\(k\sqrt{DX}\)），有\(\displaystyle P(|X-EX|\ge \varepsilon_0 )\le\frac{1}{k^2}\)
以正态分布举例，其\(3\sigma\)原则满足\(P(|X-\mu|\le3\sigma)=99.7\%\)，但使用切比雪夫不等式，得到的值为\(\displaystyle \frac{8}{9}\)，因其适用一切分布，故其估计是保守的。
证明马尔可夫不等式与切比雪夫不等式的另一种方法
马尔科夫不等式：对某随机变量\(X\)，假设其期望存在，有\(\displaystyle P(X\ge a)\le \frac{EX}{a}\)
示性函数：记\(I_{\left \{ A \right \} }\)表示\(A\)成立时返回1，否则返回0，有\(E(I_{\left \{ A \right \} })=P(A)\)，构造\(\displaystyle y=\frac{x}{a}\)，有\(\displaystyle I_{\left \{ X\ge a \right \} }\le \frac{X}{a}\)，取期望\(\displaystyle E(I_{\left \{ X\ge a \right \} })\le \frac{EX}{a}\)；对切比雪夫不等式，构造\(\displaystyle y=\frac{(X-EX)^2}{\sigma^2}\)即可。
【第四章例题】【超几何分布的期望】\(N\)件产品中包含\(M\)件次品，从中不放回取\(n\)件，求取得次品数的期望。\(\displaystyle \frac{nM}{N}\)
【第四章例题】设\(X_1,X_2,\cdots,X_n\sim U[0,1]\)，且相互独立，令\(Y=\min (X_1,X_2,\cdots,X_n)\)，求\(EY\)
Info
此处可以使用\(\displaystyle EX=\int_{0}^{+\infty}[1-F(x)]dx\)简化
【NJU20XX期中】【抽签原理】袋中有\(N\)张卡片，各记以数字\(a_1,a_2,\cdots,a_N\)，不放回地从中随机抽出\(n\)张，求这\(n\)张卡片上数字和的期望与方差.\(\boxed{\displaystyle EX=\frac{n}{N}\sum_{i=1}^{N}a_i, DX=\frac{n(N-n)}{N-1}\sum_{i=1}^{N}(a_i-\frac{1}{N}\sum_{j=1}^{N}a_j )^2 }\)
【NJU2024期中变式】【第四章习题】设我国每年出口商品需求量（吨）服从\(U[2000,4000]\)，若售出1吨，收益3万元，否则亏损1万元，问商品应出厂多少吨可得到利润最大值？\(\boxed{3500}\)
【NJU】【第四章例题P88】将\(n\)个求放入\(M\)个盒子，设每个球等可能落入诸盒，求有球盒子数\(X\)的数学期望
【第四章习题T10】随机变量\(X\)密度函数为\(\displaystyle p(x)=\frac{1}{2}e^{-|x-\mu|},\mu\in\mathbb{R}\)，求\(DX\).\(\boxed{2}\)
【第四章习题T6】已知\(Y=\ln X \sim N(\mu,\sigma^2)\)，求\(EX\).\(\boxed{\displaystyle e^{\frac{\sigma^2}{2}}e^{\mu}}\)
【NJU2018期中】【柯西——施瓦兹不等式】对于两个随机变量\(V,W\)，若\(E(V^2),E(W^2)\)都存在，证明：\([E(VW)]^2\le E(V^2)E(W^2)\)
【第四章例题P95】【柯西——施瓦兹不等式】设随机变量\(X,Y\)的方差均存在，则\([cov(X,Y)]^2\le DXDY\)，其中等号成立的充要条件是存在不全为0的常数\(a\)和\(b\)，使得：\(P(Y=aX+b)=1\)
Cauthy—Schwarz不等式
其离散形式为
当时\(\displaystyle \frac{a_1}{b_1}= \frac{a_2}{b_2} =\cdots =\frac{a_n}{b_n}或a_i=b_i=0\)取等。
其积分形式为：对于区间\([a,b]\)上连续函数\(f,g\)，有：
Holder不等式
对于实数\(\displaystyle p>1,q>1,\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1\)，那么对于空间\(\Omega\)上的函数\(f\in L^p(\Omega),g\in L^q(\Omega)\)，有
高阶矩存在、低阶矩一定存在
若随机变量\(X\)的\(a\)阶绝对矩存在，即\(E|X|^a<\infty\)，则\(X\)的所有低于\(a\)阶的绝对矩也存在。
证明方法一：使用Holder不等式
设连续随机变量\(X\)的某个样本点为\(w\),则\(\displaystyle EX=\int_{\Omega}^{}X(w)dw\),先证明，当\(\displaystyle p>1,q>1,\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1\)时：
即证明：
此为Holder不等式，正确性已得到证明，故：
取\(\displaystyle \frac{1}{p}=\frac{a}{r},\frac{1}{q}=1-\frac{a}{r},r\in\mathbb{N_+},r<a\)，有：
故得证。
证明方法二：使用指示函数
对随机变量\(X\)，有\(|X|=|X|\cdot I_{\left \{ |X|>1 \right \}}+|X|\cdot I_{\left \{ 0\le |X|\le 1 \right \}}\)
\(E(|X|\cdot I_{\left \{ 1\le |X|\le 1 \right \}})\le 1\)，有界；
而\(E(|X|\cdot I_{\left \{ |X|>1 \right \}})\)，满足如下性质： 记\(f(p)=E(|X|^p\cdot I_{\left \{ |X|^p>1 \right \}})\)，\(f(p)\)是单调递增的，故\(f(a)<+\infty\)时，\(f(p)<+\infty,p\in\mathbb{N_+},p<a\)
故命题得证。
【第四章习题T23（2）】若是取非负实数值的连续型随机变量，分布函数为，密度函数为，求证： $$ EX=\int_{0}^{+\infty}[1-F(x)]dx $$ 设连续型随机变量\(X\)的一切可能值在区间\([a,b]\)内，证明：\(\displaystyle DX\le\frac{(b-a)^2}{4}\)
证明
可知期望\(\mu\in[a,b]\)，则\((x-\mu)^2\le \max((a-\mu)^2,(b-\mu)^2)\)，故方差\(DX\le \max((a-\mu)^2,(b-\mu)^2)\)，而\(\displaystyle \min\limits_{a\le \mu\le b}(\max((a-\mu)^2,(b-\mu)^2)=\frac{(b-a)^2}{4}\)，得证。
设\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)为正态总体的一个样本， \(\overline{X}=\displaystyle \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}X_i\)，证明：\(\displaystyle E\overline{X}^2=\mu^2+\frac{\sigma^2}{n}\)