概率论与数理统计第八章

假设检验（与第七章有紧密联系）

第一组名词：原假设\(H_0\)（零假设）、备择假设\(H_1\)（对立假设）、单边/双边检验、简单假设/复合假设、参数/非参数假设检验

第二组名词：检验统计量、临界值、拒绝域、接受域

假设检验基本步骤：

（1）提出原假设\(H_0\)和备择假设\(H_1\)；

（2）构造统计量，在成立的条件下推导出该统计量分布；

（3）根据小概率\(\alpha\)，确定临界值和拒绝域\(W\)；

（4）由样本计算出统计量的观察值，若落在拒绝域\(W\)，则拒绝\(H_0\)；否则，接受\(H_0\).

一个例子

【NJU2024期末】机器包装产品，假设每包重量服从正态分布，要求每袋标准重量为100克，方差不能超过4克。某天开机后，随机抽取\(n=10\)袋，测得平均重量为99.89克，样本标准差\(S_{n-1}=0.975\)克，试检验包装机的标准重量和方差是否合格。（取\(\alpha=0.05\)）

参考步骤

设每包重量\(X\sim N(\mu,\sigma^2)\)，由题意检验\(\mu\)与\(\sigma^2\)。

（1）检验均值\(\mu\)。

STEP1：\(H_0:\mu = 100,H_1:\mu\neq 100\)

STEP2：\(H_0\)成立时，构造统计量\(\displaystyle T=\frac{\overline{X}-\mu}{S/\sqrt{n}}=\frac{\overline{X}-100}{S_{n-1}/\sqrt{n}}\sim T(n-1)\)

STEP3：拒绝域：\(W=\left \{ |T|\ge t_{\frac{\alpha}{2}}(n-1)=2.262\right \}\)

STEP4：而观察值\(|\tilde{T}|=|-0.357|<2.262\)

STEP5；故接受\(H_0\)，认为包装机的标准重量合格。

（2）检验方差\(\sigma^2\)

STEP1：\(H_0:\sigma^2 \le 4,H_1:\sigma^2 >4\)

STEP2：\(H_0\)成立时，构造统计量\(\displaystyle \chi^2 = \frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}=\frac{(n-1)S_{n-1}^2}{4}\sim \chi^2(n-1)\)

STEP3：拒绝域：\(W=\left \{ \chi^2\ge \chi^2_{\alpha}(n-1)=16.919\right \}\)

STEP4：而观察值\(\tilde{\chi^2}=2.139<16.919\)

STEP5：故接受\(H_0\)，认为包装机的标准方差合格。

两类错误

第三组名词：弃真错误（第一类错误）、存伪错误（第二类错误）、显著性水平

希望犯两种错误的概率越小越好，但在样本容量固定式，这两个概率不可能同时减小，故我们基于以下原则：在控制第一类错误\(\alpha\)的前提下、使犯第二类错误的概率\(\beta\)尽可能小（基于原假设与备择假设地位不对等现实——只有证据充分时，才能拒接原假设）

假设检验实例

单个正态总体\(N(\mu,\sigma^2)\)均值\(\mu\)假设检验

已知\(\sigma^2\)

采取\(u\)检验法\(\displaystyle U=\frac{\overline{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}\sim N(0,1)\)

未知\(\sigma^2\)

采取\(t\)检验法\(\displaystyle T=\frac{\sqrt{n}(\overline{X}-\mu)}{S}\sim t(n-1)\)。

（可能考察）两个正态总体\(N(\mu_1,\sigma^2_1),N(\mu_2,\sigma^2_2)\)的均值差\(\mu_1-\mu_2\)假设检验

\(\sigma^2_1,\sigma^2_2\)均已知

取\(\displaystyle U=\frac{\overline{X}-\overline{Y}}{\sqrt{\displaystyle \frac{\sigma^2_1}{n_1}+\frac{\sigma^2_2}{n_2}}}\sim N(0,1)\)

\(\sigma^2_1,\sigma^2_2\)未知但相等

取\(\displaystyle T=\sqrt{\frac{n_1n_2(n_1+n_2-2)}{n_1+n_2}}\frac{\overline{X}-\overline{Y}}{\sqrt{(n_1-1)S_1^2+(n_2-1)S_2^2}}\sim T(n_1+n_2-2)\)

单个正态总体\(N(\mu,\sigma^2)\)方差\(\sigma^2\)假设检验，\(\mu\)未知

采取\(\chi^2\)检验法\(\chi^2=\displaystyle \frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}\sim \chi^2(n-1)\)

（可能考察）两个正态总体\(N(\mu_1,\sigma^2_1),N(\mu_2,\sigma^2_2)\)的方差比\(\displaystyle \frac{\sigma_1^2}{\sigma^2_2}\)假设检验

采用\(F\)检验法，构造统计量\(\displaystyle F=\frac{S_1^2\sigma^2_2}{S_2^2\sigma^2_1}\sim F(n_1-1,n_2-1)\)