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这种转化是组合数学中“最优雅的魔术”之一。它的本质原理是一条极其简单的代数规则：幂运算的乘法等于指数的加法。

\[x^a \cdot x^b = x^{a+b}\]

一、 巧妙的桥梁：从“选方案”到“算多项式”

想象你面前有两个袋子。 * 袋子 A 里有 1 个苹果、2 个梨。你从中选 1 个水果。 * 袋子 B 里有 3 个橙子、1 个香蕉。你从中选 1 个水果。

如果你想知道“一共选出 2 个苹果类水果”或“选出某种组合”的方案数，手动列举很累。但如果我们引入一个占位符 \(x\)：

1. 定义算式： 我们将袋子里的物品情况写成多项式，物品的数量作为指数，方案数作为系数。

   • 袋子 A：\(2x^0 + 1x^1\) （表示有 2 种方案拿 0 个苹果，1 种方案拿 1 个苹果）
   • 袋子 B：\(1x^0 + 1x^1\) （以此类推）

2. 神奇的转化： 当你把这两个多项式相乘时： \((2x^0 + 1x^1)(1x^0 + 1x^1) = 2x^0 + 3x^1 + 1x^2\)

   看结果的系数： * \(x^1\) 的系数是 3，代表总共拿 1 个苹果相关的方案有 3 种。 * 为什么？ 因为代数乘法在分配律展开时，自动遍历了所有可能的指数加和方案（\(0+1\) 和 \(1+0\)）。

结论：代数乘法的展开过程，本质上就是在自动进行“组合穷举”。

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二、 在二项分布可加性证明中的运用

二项分布 \(B(n, p)\) 是 \(n\) 次独立的伯努利试验（成功概率为 \(p\)）。我们来证明：两个独立且成功概率相同的二项分布变量之和，依然服从二项分布。

即证：若 \(X \sim B(n, p)\)，\(Y \sim B(m, p)\)，则 \(X+Y \sim B(n+m, p)\)。

1. 构造概率生成函数 (PGF)

对于一次伯努利试验（\(n=1\)），其概率情况是： * 成功（1次）：概率为 \(p\) * 失败（0次）：概率为 \(1-p\) （记作 \(q\)）

我们把它“打包”成生成函数：\(G(x) = qx^0 + px^1 = q + px\)。

2. \(n\) 次独立试验的叠加

在二项分布 \(B(n, p)\) 中，相当于 \(n\) 个相互独立的单次试验相加。根据我们前面提到的“加法变乘法”原理，其生成函数就是 \(n\) 个单次试验生成函数的乘积： $\(G_X(x) = (q + px)^n\)$ 展开这个式子，根据二项式定理，它的第 \(k\) 项系数是 \(\binom{n}{k} p^k q^{n-k}\)。这正好是二项分布的概率公式！

3. 证明两个变量相加

现在有两个变量 \(X \sim B(n, p)\) 和 \(Y \sim B(m, p)\)。 我们要找的是 \(Z = X + Y\) 的分布。 根据生成函数的性质，\(Z\) 的生成函数等于 \(X\) 的生成函数与 \(Y\) 的生成函数的乘积（因为它们是独立的）： $\(G_Z(x) = G_X(x) \cdot G_Y(x)\)$ 代入它们的公式： $\(G_Z(x) = (q + px)^n \cdot (q + px)^m\)$ 利用底数相同、指数相加的代数法则： $\(G_Z(x) = (q + px)^{n+m}\)$

4. 观察结论

看这个结果 \((q + px)^{n+m}\)，它对应的正是一个做 \(n+m\) 次试验、每次成功概率为 \(p\) 的二项分布的生成函数。 证明完毕。

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三、 拓展：如果 \(p\) 不一样会怎样？

这是一个非常绝妙的延伸： 如果 \(X \sim B(n, p_1)\)，而 \(Y \sim B(m, p_2)\)，且 \(p_1 \neq p_2\)。 那么： $\(G_Z(x) = (q_1 + p_1 x)^n \cdot (q_2 + p_2 x)^m\)$ 这个式子展开后，系数序列会变得非常复杂，它不再满足二项分布的参数结构。 这种分布在统计学中被称为泊松-二项分布（Poisson Binomial Distribution）。

启发： 通过这种“代数化”的方法，我们可以直观地看到：

• 为什么需要 \(p\) 相同？ 因为只有底数相同，多项式的指数才能相加，形式才能保持统一。
• 物理直观： 二项分布可以看作是在一排槽位里放球。如果概率 \(p\) 相同，你把 \(n\) 个槽位和 \(m\) 个槽位拼在一起，和直接看作 \(n+m\) 个槽位没有区别。但如果概率 \(p\) 不同，槽位的本质就变了，简单的拼接就失效了。

数理小结

生成函数将“组合逻辑中的加法”编码进了“代数符号的指数”中。这种转化让庞大的组合计数变成了简单的多项式化简。正如著名的数学家乔治·波利亚（George Pólya）所说：“生成函数就像是一个书架，用来整齐地陈列一列数字。”

生成函数（Generating Functions）是组合数学中最强大的工具之一。它最核心的思想是：将一个序列的所有信息，通过幂级数的系数“打包”进一个函数里。

设序列为 \(\{a_0, a_1, a_2, \dots\}\)，其普通生成函数（OGF）定义为： $\(A(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \dots\)$

一、 生成函数的基本运算

在生成函数的操作中，我们通常不关心 \(x\) 的具体取值（将其看作一个符号占位符），我们关心的是函数运算如何影响系数。

1. 加法（线性性质）： 若 \(C(x) = A(x) + B(x)\)，则系数 \(c_n = a_n + b_n\)。 意义：对应元素直接相加。

2. 平移（移位运算）：

   • 右移：\(x \cdot A(x) = \sum a_n x^{n+1}\)，由于系数整体右移，新序列为 \(\{0, a_0, a_1, \dots\}\)。
   • 左移：\(\frac{A(x) - a_0}{x} = \sum a_{n+1} x^n\)，新序列为 \(\{a_1, a_2, a_3, \dots\}\)。

3. 微分（带权的索引操作）： $\(A'(x) = \sum_{n=1}^{\infty} n a_n x^{n-1}\)$ 意义：如果你想在系数里引入一个因子 \(n\)，求导是标准手段。

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二、 核心运算：卷积（Convolution）

卷积是生成函数乘法的灵魂。 如果 \(C(x) = A(x) \cdot B(x)\)，那么 \(C(x)\) 的系数 \(c_n\) 是如何构成的？

1. 数理定义

通过多项式乘法的展开： $\(C(x) = (a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \dots)(b_0 + b_1 x + b_2 x^2 + \dots)\)$ 要得到 \(x^n\) 项，你必须从第一个括号选 \(a_k x^k\)，从第二个括号选 \(b_{n-k} x^{n-k}\)，使得指数之和为 \(k + (n-k) = n\)。 因此，\(C(x)\) 的第 \(n\) 项系数为： $\(c_n = \sum_{k=0}^{n} a_k b_{n-k} = a_0 b_n + a_1 b_{n-1} + \dots + a_n b_0\)$

2. 卷积的组合意义：“分配”与“组合”

在组合计数中，卷积对应于“将总和 \(n\) 分解为两个独立的部分”。 * 例子：假设你有两袋硬币。 * \(a_k\) 是从第一袋里拿出价值为 \(k\) 的方案数。 * \(b_j\) 是从第二袋里拿出价值为 \(j\) 的方案数。 * 那么 \(c_n\)（即卷积结果）就是：从两袋里一共拿出价值为 \(n\) 的方案数。

3. 卷积的典型应用：卡特兰数递归式

回忆卡特兰数的递推式：\(C_n = \sum_{i=0}^{n-1} C_i C_{n-1-i}\)。 观察右侧，这正是一个标准卷积的形式！ * 它表示将 \(n-1\) 分成了两个部分：\(i\) 和 \((n-1-i)\)。 * 在生成函数方程 \(C(x) = 1 + x [C(x)]^2\) 中，\(C(x)^2\) 这一项产生的系数就是序列自身的卷积。即 \(C(x)^2\) 的第 \(k\) 项系数是 \(\sum_{i=0}^k C_i C_{k-i}\)。

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三、 拓展：指数生成函数（EGF）与卷积

当我们需要处理排列问题（即物体是有区别的，比如 \(n\) 个不同的人）时，普通生成函数就不够用了，这时需要指数生成函数： $\(\hat{A}(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n \frac{x^n}{n!}\)$

1. 指数卷积

如果 \(\hat{C}(x) = \hat{A}(x) \hat{B}(x)\)，那么新系数 \(c_n\) 的表达式会多出一个二项式系数： $\(c_n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a_k b_{n-k}\)$

推导过程： \(\frac{c_n}{n!}\) 是 \(x^n\) 的系数。在展开 \(\left(\sum \frac{a_k x^k}{k!}\right) \left(\sum \frac{b_j x^j}{j!}\right)\) 时： $\(\frac{c_n}{n!} = \sum_{k=0}^n \frac{a_k}{k!} \frac{b_{n-k}}{(n-k)!}\)$ 两边同时乘以 \(n!\)： $\(c_n = \sum_{k=0}^n \frac{n!}{k!(n-k)!} a_k b_{n-k} = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a_k b_{n-k}\)$

2. 组合意义

这个 \(\binom{n}{k}\) 的出现非常精妙：它代表在总共 \(n\) 个位置中，先选出 \(k\) 个位置给第一个结构（方案数为 \(a_k\)），剩下的 \(n-k\) 个位置给第二个结构（方案数为 \(b_{n-k}\)）。 这解释了为什么在处理有序结构（如标号图、排列）时，一定要用指数生成函数。

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四、 相关结论拓展：独立随机变量的和

在概率论中，卷积有一个极其重要的应用：两个独立随机变量之和的分布。

假设独立离散随机变量 \(X\) 和 \(Y\)，其概率质量函数分别为 \(P(X=k) = p_k\) 和 \(P(Y=k) = q_k\)。 如果我们构造概率生成函数 \(G_X(z) = \sum p_k z^k\) 和 \(G_Y(z) = \sum q_k z^k\)，那么： \(Z = X + Y\) 的概率生成函数就是其乘积： $\(G_{X+Y}(z) = G_X(z) \cdot G_Y(z)\)$

结论： * 这本质上就是一种卷积。 * 它极大地简化了求和概率。例如，两个均值为 \(\lambda_1, \lambda_2\) 的独立泊松分布之和，通过其生成函数 \(e^{\lambda(z-1)}\) 的乘法，可以瞬间证明结果依然是泊松分布，且均值为 \(\lambda_1 + \lambda_2\)。

总结： 卷积运算之所以重要，是因为它在数学形式上是 “乘法”，但在物理/组合意义上是 “相加”。生成函数就像一台转换器，把复杂的加法组合搜索问题，变成了简单的代数多项式乘法。

泊松分布（Poisson Distribution）的由来主要有两种路径：一种是作为二项分布的极限（为了计算方便），另一种是基于泊松过程的公理化推导（为了描述自然随机现象）。

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三、 拓展结论：泊松分布与指数分布的“共生”关系

泊松分布有一个非常重要的延伸，这在排队论和可靠性工程中是基石：

1. 时间轴上的转换

假设某个事件（如客服接到电话）服从泊松分布，单位时间内平均发生 \(\lambda\) 次。 * 泊松分布关心的是：在固定时间 \(T\) 内，事件发生了多少次？ * 指数分布关心的是：两次事件发生的时间间隔是多少？

2. 推导证明

假设事件发生的间隔时间为 \(T\)。那么“间隔时间大于 \(t\)”的概率 \(P(T > t)\)，等价于“在时间长度 \(t\) 内，事件发生了 0 次”。 利用泊松分布公式，令 \(k=0\)： $\(P(T > t) = P(X=0 \text{ in } t) = \frac{(\lambda t)^0 e^{-\lambda t}}{0!} = e^{-\lambda t}\)$ 那么其累积分布函数（间隔时间小于 \(t\) 的概率）为： $\(F(t) = P(T \le t) = 1 - e^{-\lambda t}\)$ 对其求导得到概率密度函数： $\(f(t) = \lambda e^{-\lambda t}\)$ 这正是指数分布。

3. 结论的深刻含义：无记忆性

由泊松分布推导出的指数分布具有无记忆性（Memoryless Property）： $\(P(T > s+t | T > s) = P(T > t)\)$ 这意味着，如果你在等公交车，而车是按泊松过程到达的，那么你等了 10 分钟车还没来，和你刚到站时开始等，后面还需要等的时间期望是一模一样的。——“过去发生的事件，对未来的等待时间没有影响。”

这是泊松分布这种“完全随机”特性在时间维度上的最完美体现。

这是一个非常深刻的问题。答案是：两者不可互相替代，因为它们服务的“极限场景”完全不同。

简单来说：正态分布近似是为了处理“和”的规模，而泊松分布近似是为了处理“稀有性”。

以下是详细的对比和深度数理逻辑：

1. 适用条件的本质区别

我们以二项分布 \(B(n, p)\) 为基准，看看两种近似在什么时候更准：

• 正态分布近似 (Normal Approximation)：

  • 依据：中心极限定理 (CLT)。
  • 条件：\(n\) 很大，且 \(p\) 不接近 0 或 1（通常要求 \(np > 5\) 且 \(n(1-p) > 5\)）。
  • 直观理解：当你有大量独立同分布的变量相加，且平均结果处于中间位置时，由于左右都有摆动空间，分布是对称的。

• 泊松分布近似 (Poisson Approximation)：

  • 依据：泊松小数定律 (Law of Small Numbers)。
  • 条件：\(n\) 很大，但 \(p\) 非常小（通常 \(p < 0.1\)），而 \(np = \lambda\) 是一个适中的常数。
  • 直观理解：这是为了处理“极其罕见”的事件。因为 \(p\) 太小，分布被猛烈地推向了左侧边缘（0 的位置），根本无法形成对称的“钟形曲线”。

2. 数理特性的核心冲突

为什么在 \(p\) 很小时，正态分布不如泊松分布？

(1) 值域的冲突

• 正态分布：值域是 \((-\infty, +\infty)\)。如果用它近似一个 \(p=0.001\) 的分布，它可能会预测“发生次数为负数”的概率，这在物理上是荒谬的。
• 泊松分布：值域是 \(\{0, 1, 2, \dots \}\)。它天生就是为计数设计的，完美契合离散的个数。

(2) 对称性 vs 偏度 (Skewness)

• 正态分布：永远是对称的（偏度为 0）。
• 泊松分布：是右偏的。当 \(\lambda\) 很小时，他在 0 处有一个高峰，然后向右拖出一个长长的尾巴。
  • 数理结论：泊松分布的偏度是 \(1/\sqrt{\lambda}\)。只有当 \(\lambda\) 很大时，它的偏度才趋近 0，此时它才长得像正态分布。

(3) 均值与方差的关系

• 正态分布：均值 \(\mu\) 和方差 \(\sigma^2\) 是两个相互独立的参数。
• 泊松分布：极其特殊，它的均值等于方差（都等于 \(\lambda\)）。
  • 在稀有事件中，这种“均值方差相等”的特性非常符合实际（方差随均值线性增长），而正态分布无法自动锁定这种关系。

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3. 一个有趣的转化：当泊松也变成正态

实际上，这三者之间存在一个“演化链条”：

\[ \text{二项分布} \xrightarrow{n \to \infty, p \to 0} \text{泊松分布} \xrightarrow{\lambda \to \infty} \text{正态分布} \]

当泊松分布的 \(\lambda\) 足够大（比如 \(\lambda > 30\)）时，泊松分布本身也会因为中心极限定理而变得极其接近正态分布。

为什么？ 因为你可以把一个 \(\lambda=100\) 的泊松分布，看作是 100 个 \(\lambda=1\) 的独立泊松分布之和。根据中心极限定理，大量独立随机变量之和必然趋向正态。

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4. 结论：哪个更好？

在现代数据科学和工程中：

1. 如果你在做质量检测（比如 1 万个芯片里有几个坏的）：泊松分布更好。因为缺陷是稀有的，正态分布在边缘处的拟合会带来巨大误差。
2. 如果你在处理社会统计（比如 1 万个人的身高、总考试成绩）：正态分布更好。因为这些指标是多因素共同作用的“和”，且不具备极端稀有性。
3. 计算代价：在计算机时代，我们其实可以直接计算精确的二项分布，或者使用数值更加稳定的连续性修正（Continuity Correction）后的正态近似。

一句话总结： 正态分布是“大数法则”的胜利，它描述的是“平庸的多数”；泊松分布是“随机性”的极致，它捕捉的是“意外的少数”。在 \(p\) 极小的荒野里，正态分布这把尺子是量不准的。

前面我们讨论了参数估计中的点估计问题。除了用一个点去估计未知参数外，我们还可以构造一个区间 \((\hat{\theta}_1, \hat{\theta}_2)\) 来估计参数 \(\theta\) 的范围。由于 \(\hat{\theta}_1, \hat{\theta}_2\) 均为随机变量，因此，我们还必须指出该区间以多大概率包含未知参数 \(\theta\)，这称为区间的置信度。

定义 7.3 设 \(\theta\) 是总体 \(X\) 的未知参数，\(X_1, X_2, \dots, X_n\) 是来自总体 \(X\) 的样本。若对事先给定的常数 \(\alpha (0 < \alpha < 1)\)，存在两个统计量 \(\hat{\theta}_1(X_1, X_2, \dots, X_n)\) 与 \(\hat{\theta}_2(X_1, X_2, \dots, X_n)\)，使得 $$P(\hat{\theta}_1 < \theta < \hat{\theta}_2) = 1 - \alpha, $$ 则称区间 \((\hat{\theta}_1, \hat{\theta}_2)\) 是 \(\theta\) 的置信度为 \(1 - \alpha\) 的置信区间，\(\hat{\theta}_1, \hat{\theta}_2\) 分别称为置信下限和置信上限，\(1 - \alpha\) 称为置信度或置信系数。

应该特别指出的是，式 (7.8) 的含义是在重复取得多组样本的情况下，将得到很多不同的区间 \((\hat{\theta}_1, \hat{\theta}_2)\)，这些区间中大约有 \(100(1-\alpha)\%\) 的区间包含未知参数 \(\theta\)。但对于一组样本来说，绝不能认为 “\(\theta \in (\hat{\theta}_1(x_1, x_2, \dots, x_n), \hat{\theta}_2(x_1, x_2, \dots, x_n))\) 的概率为 \(1 - \alpha\)”。因为对于一组样本观察值来说，\(\hat{\theta}_1(x_1, x_2, \dots, x_n), \hat{\theta}_2(x_1, x_2, \dots, x_n)\) 均为具体的数值，此时要么区间 \((\hat{\theta}_1(x_1, x_2, \dots, x_n), \hat{\theta}_2(x_1, x_2, \dots, x_n))\) 包含未知参数 \(\theta\)，要么该区间不包含未知参数 \(\theta\)。

另外，置信区间的长度可以看成区间估计的精度。当然我们希望区间估计既有高的置信度，又有好的精度。但一般来说，精度与置信度二者之间是矛盾的。随机区间的长度越长，置信度就越高，但精度下降；反之，随机区间的长度越短，精度提高，但置信度下降。在实际问题中，我们总是在保证置信度的条件下，尽可能地提高精度。

大数定律是研究随机现象统计规律性的理论，大数定律揭示了随机变量平均值的收敛规律，我们先介绍随机变量收敛的概念。

定义 5.1 设 \(Y_1, Y_2, \dots, Y_n, \dots\) 为随机变量序列，若存在常数 \(a\)，对任意给定的 \(\varepsilon > 0\)，有 $\(\lim_{n \to \infty} P(|Y_n - a| \geqslant \varepsilon) = 0, \text{ 或 } \lim_{n \to \infty} P(|Y_n - a| < \varepsilon) = 1,\)$ 则称随机变量序列 \(Y_1, Y_2, \dots, Y_n, \dots\) 依概率收敛于 \(a\)，记为 \(Y_n \xrightarrow{P} a\)。

随机变量序列的收敛性是指 \(n \to \infty\) 时，随机变量 \(Y_n\) 与常数 \(a\) 的偏差小于任意正数 \(\varepsilon\) 的概率将趋向于 \(1\)，这与数学分析中的极限定义有明显不同。

定义 5.2 设 \(X_1, X_2, \dots, X_n, \dots\) 为随机变量序列，若 $\(\lim_{n \to \infty} P\left( \left| \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n X_k - \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n EX_k \right| \geqslant \varepsilon \right) = 0\)$ 或 $\(\lim_{n \to \infty} P\left( \left| \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n X_k - \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n EX_k \right| < \varepsilon \right) = 1,\)$ 则称 \(\{X_n\}\) 服从大数定律。

不同的大数定律主要是条件的不同。以下我们介绍三个常用的大数定律：切比雪夫大数定律、独立同分布大数定律与伯努利大数定律。

定理 5.1（切比雪夫大数定律） 设 \(X_1, X_2, \dots\) 为两两互不相关的随机变量序列，其方差一致有界，即存在常数 \(C\)，使得 \(DX_k < C\)，对一切 \(k = 1, 2, \dots\) 成立，则 \(\{X_n\}\) 服从大数定律，即 $\(\lim_{n \to \infty} P\left( \left| \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n X_k - \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n EX_k \right| \geqslant \varepsilon \right) = 0\)$

定理 5.4 独立同分布中心极限定理（林德伯格—列维） 随机变量序列 \(X_1, X_2, \dots, X_n\) 独立同分布，数学期望与方差均存在，\(EX_k = \mu\)，\(DX_k = \sigma^2 > 0\)，则对任意 \(x\) 有 $\(\lim_{n \to \infty} P\left( \frac{\sum_{k=1}^n X_k - n\mu}{\sqrt{n}\sigma} \leqslant x \right) = \int_{-\infty}^x \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{t^2}{2}} dt = \Phi(x)。\)$

定理 4.3 (切比雪夫不等式) 设随机变量 \(X\) 的期望 \(EX\) 和方差 \(DX\) 均存在，则对任意的 \(\varepsilon > 0\)，有 $\(P(|X - EX| \geqslant \varepsilon) \leqslant \frac{DX}{\varepsilon^2}。\)$

\item \textbf{【2012江苏23】}设集合 \(P_n=\{1,2,\cdots,n\}, n \in \mathbb{N}^*\). 记 \(f(n)\) 为同时满足下列条件的集合 \(A\) 的个数: （1） \(A \subseteq P_n\); （2） 若 \(x \in A\), 则 \(2x \notin A\); （3） 若 \(x \in \complement_{P_n}A\), 则 \(2x \notin \complement_{P_n}A\)。

（1） 求 \(f(4)\)； （2） 求 \(f(n)\) 的解析式 (用 \(n\) 表示)。

    \item \textbf{【2013上海理17】}在数列 $\{a_n\}$ 中, $a_n=2^n-1$, 若一个 7 行 12 列的矩阵的第 $i$ 行第 $j$ 列的元素 $a_{ij}=a_i \cdot a_j+a_i+a_j$ ($i=1,2,\cdots,7$; $j=1,2,\cdots,12$) 则该矩阵元素能取到的不同数值的个数为

（A） 18 （B） 28 （C） 48 （D） 63

    \item \textbf{【2010天津理10】} 如图, 用四种不同颜色给图中的 $A,B,C,D,E,F$ 六个点涂色, 要求每个点涂一种颜色, 且图中每条线段的两个端点涂不同颜色, 则不同的涂色方法有

（A） \(288\) 种 （B） \(264\) 种 （C） \(240\) 种 （D） \(168\) 种

    \item \textbf{【2009天津理16】} 用数字 $0,1,2,3,4,5,6$ 组成没有重复数字的四位数, 其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有多少个？

    \item \textbf{【2008湖南理10】} 设 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数 (如 $[2]=2$, $\displaystyle \left[\frac{5}{4}\right]=1$). 对于给定的 $n \in \mathbb{N}^*$, 定义 $\displaystyle \mathrm{C}_n^x = \frac{n(n-1)\cdots(n-[x]+1)}{x(x-1)\cdots(x-[x]+1)}$, $x \in [1,+\infty)$, 则当 $\displaystyle x \in \left[\frac{3}{2},3\right)$ 时, 函数 $\mathrm{C}_8^x$ 的值域是

（A） \(\displaystyle \left[\frac{16}{3},28\right]\) （B） \(\displaystyle\left[\frac{16}{3},56\right)\) （C） \(\displaystyle\left(4,\frac{28}{3}\right] \cup [28,56)\) （D） \(\displaystyle\left(4,\frac{16}{3}\right] \cup \left(\frac{28}{3},28\right]\)

​ \item 某出版社的11名工人中，有5人只会排版，4人只会印刷，还有2人既会排版又会印刷，现从11人中选4人排版，4人印刷，有多少种不同的选法？ ​
​ \item 从10对夫妻中选6人参加某项活动，分别求满足下列条件的选择的方法数： ​ （1）恰有1对夫妻； ​ （2）至少有1对夫妻； ​ （3）没有夫妻。 ​
\item \textbf{【2006上海文16】} 如果一条直线与一个平面垂直, 那么, 称此直线与平面构成一个“正交线面对”. 在一个正方体中, 由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是

    （A） $\displaystyle 48$ （B） $\displaystyle 18$ （C） $\displaystyle 24$ （D） $\displaystyle 36$

​
​
​ \item 某地有南北街道5条，东西街道6条，一邮电员从该地东北角的邮局A出发，送信到西南角的B地，要求所走的路程最短，解答下列问题： ​
​ （1）已知C地（十字路口）在修路，无法通行，共有多少种不同的走法？ ​
（2）有一段\(\displaystyle DE\)不通，共有多少种不同的走法？

    （3）已知C地（十字路口）在修路，无法通行，且有一段路程$\displaystyle DE$无法通行，有多少种不同的走法？

    \begin{figure}[H]
        \centering
        \includegraphics[width=3cm]{1.png}
        \caption{第2题图}
    \end{figure}

​ \item 有编号为A、B、C、D、E、F的6个不同小球，若将这些小球排成一排，要求A球不在最边上，且B、C、D各不相邻，则有多少种不同的排法？ ​ \item 有2个红球，3个黄球，4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列，有多少种不同的方法？ ​
​ \item 12名同学合影，站成前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人抽2人调到前排，若其他人的相对顺序不变，则有多少种不同的调整方式？ ​
\item 现有悬挂着的8盏不同的花灯需要取下，每次取1盏，则不同取法总数为？

    \begin{figure}[H]
        \centering
        \includegraphics[width=5cm]{2.png}
        \caption{第2题图}
    \end{figure}

    \item  将6本不同的书按下列分法，各有多少种不同的分法？

    （1）按3本、2本、1本分成3堆；

    （2）甲得3本、乙得2本、丙得1本；

    （3）分给甲、乙、丙，其中1人得3本、1人得2本、1人得1本；

    （4）分成3堆，每堆2本；

    （5）分给甲、乙、丙3人，每人2本；

    （6）分成3堆，其中一堆4本，另外两堆每堆1本；

    （7）分给甲、乙、丙3人，其中一人4本，另两人每人1本。

    \item  某家庭共6个人（4个大人，2个小孩）计划去漂流，景点有3只不同的船只可供选择，每船最多可乘3人，小孩必须要大人陪同，则不同的乘船方式共有多少种？

    \item  将10个相同的小球全部装入3个编号为1,2,3的盒子，要求每个盒子里球的个数不少于盒子编号数，这样的装法种数是？

    \item  一环形花坛分成A,B,C,D四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为

    （A）96 （B）84  （C）60  （D）48

    \begin{figure}[H]
        \centering
        \includegraphics[width=3cm]{3.png}
        \caption{第1题图}
    \end{figure}

    \item  四种不同的颜色涂在6个区域，且相邻两个区域不能同色，满足条件的涂法数有多少种？

    \begin{figure}[H]
        \centering
        \includegraphics[width=3cm]{4.png}
        \caption{第2题图}
    \end{figure}

    \item  用四种不同颜色给图中的A、B、C、D、E、F六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法有多少种？

    \begin{figure}[H]
        \centering
        \includegraphics[width=3cm]{5.png}
        \caption{第3题图}
    \end{figure}

    \item  11个人围坐在一个圆形的桌子旁，那么不同的坐法种数是？

    \item  11个人围坐在一个圆形的桌子旁，这时又加入了4个人，要求这4个人的座位互不相邻，那么不同的坐法种数是？

    （A）$\displaystyle \frac{1}{11}\mathrm{A}^{11}_{11}\mathrm{A}^4_{11}$（B）$\displaystyle \frac{1}{15}\mathrm{A}^{11}_{11}\mathrm{A}^4_{11}$

    \item \textbf{【2001全国卷理16】} 圆周上有 $2n$ 个等分点 ($n>1$), 以其中三个点为顶点的直角三角形的个数为？

    \item \textbf{【2003广东16】} 如图, 一个地区分为 5 个行政区域, 现给地图着色, 要求相邻地区不得使用同一颜色, 现有 4 种颜色可供选择, 则不同的着色方法共有多少种？

    \begin{figure}[H]
        \centering
        \includegraphics[width=5cm]{6.png}
        \caption{第2题图}
    \end{figure}

    \item \textbf{【2004全国II卷理12】}在由数字 $1,2,3,4,5$ 组成的所有没有重复数字的 5 位数中, 大于 $23145$ 且小于 $43521$ 的数共有

    （A） $56$ 个 （B） $57$ 个 （C） $58$ 个 （D） $60$ 个

    \item \textbf{【2007陕西理12】}设集合 $S = \{A_0,A_1,A_2,A_3\}$, 在 $S$ 上定义运算 $\oplus$ 为: $A_i \oplus A_j = A_k$, 其中 $k$ 为 $i+j$ 被 $4$ 除的余数, $i,j=0,1,2,3$. 则满足关系式 $(x \oplus x) \oplus A_2 = A_0$ 的 $x$ ($x \in S$) 的个数为

    （A） $4$ （B） $3$ （C） $2$ （D） $1$

​ \item \textbf{【2018江苏23】}设 \(n\in\mathbb{N}^*\), 对 \(1,2,\cdots,n\) 的一个排列 \(i_1i_2\cdots i_n\), 如果当 \(s<t\) 时, 有 \(i_s>i_t\), 则称 \((i_s,i_t)\) 是排列 \(i_1i_2\cdots i_n\) 的一个逆序, 排列 \(i_1i_2\cdots i_n\) 的所有逆序的总个数称为其逆序数. 例如: 对 \(1,2,3\) 的一个排列 \(231\), 只有两个逆序 \((2,1),(3,1)\), 则排列 \(231\) 的逆序数为 \(2\). 记 \(f_n(k)\) 为 \(1,2,\cdots,n\) 的所有排列中逆序数为 \(k\) 的全部排列的个数。 ​
​ （1） 求 \(f_3(2),f_4(2)\) 的值； ​
（2） 求 \(f_n(2)\ (n\ge 5)\) 的表达式 (用 \(n\) 表示)。

​ \item \textbf{【南京大学《概率论与数理统计》第一章习题5】}将\(n\)只小球随机放入\(N(N\ge n)\)个盒子，求某个指定盒子恰有\(m\)个球的概率。 ​ \item \textbf{【第二类】}对于五位数\(\overline{abcde}\)，若\(\overline{ab},\overline{bc},\overline{cd},\overline{de}\)均为4的倍数（后三者允许为\(\overline{00},\overline{0x}\)），则称具有“4性质”，则具有“4性质”的五位数共有多少个？

​ \item 四位同学（两男两女）随机站到的方格场地中（每人站一格，每格最多一人），则两个男生既不同行也不同列，同时两个女生既不同行，也不同列的概率是？ ​
​ （A）\(\displaystyle \frac{24}{65}\)（B）\(\displaystyle \frac{12}{35}\)（C）\(\displaystyle \frac{21}{65}\)（D）\(\displaystyle \frac{33}{91}\) ​
\item 从正方体的8个顶点中任取4个，并依次标记为\(A,B,C,D\)，则\(AB\perp CD\)的概率为？

    \item \textbf{【2025成都三诊14】}一电路中，$S_i(i=1,2,3,4,5,6,7)$为未闭合开关，$L_j(j=1,2,3)$为能正常工作的灯泡，现每次等可能地闭合一个未闭合的开关，直到7个开关全部闭合，则$L_1$最先亮起的概率是？

    \begin{figure}[H]
        \centering
        \includegraphics[width=4cm]{14.jpg}
        \caption{第28题图}
    \end{figure}

​ \item \textbf{【2026“数海漫游一模”（网络联考）6】}从\(1,2,3,4,5,6\)中，随机抽取3个互不相同的数，组成一个无重复数字的三位数，则该三位数能被3整除但不能被5整除的概率是 ​
​ （A）\(\displaystyle\frac{1}{4}\)（B）\(\displaystyle \frac{4}{15}\)（C）\(\displaystyle\frac{3}{10}\)（D）\(\displaystyle\frac{1}{3}\) ​
\item \textbf{【2008天津理10改编】}有 \(8\) 张卡片分别标有数字 \(1,2,3,4,5,6,7,8\), 从中取出 \(6\) 张卡片排成 \(3\) 行 \(2\) 列, 要求 \(3\) 行中仅有中间行的两张卡片上的数字之和为 \(5\), 则不同的排法共有多少种？

    \item \textbf{【2006安徽理12】}在正方体上任选 3 个顶点连成三角形, 则所得的三角形是直角非等腰三角形的概率为

    （A） $\displaystyle\frac{1}{7}$ （B） $\displaystyle\frac{2}{7}$ （C） $\displaystyle\frac{3}{7}$ （D） $\displaystyle\frac{4}{7}$

    \item  让 5 个男生和 5 个女生进入三个不同的教室, 满足每个教室内必有女生, 有男生的教室至少有 2 个女生, 那么满足条件的分配方式共有多少种？

    \item  皓老师有三个花瓶, 分别是紫色、绿色、白色的. 他想去买一些花放在这些花瓶里. 花店共有六种花, 他挑三种, 各买一束回家放在花瓶里. 要求: 一个花瓶可以放多束花, 但不能把所有的花都放在紫色的花瓶里. 则花瓶中花的安排情况共有多少种？

    \item  设 3 位男同学, 2 位女同学, 1 位老师, 共 6 个人参加两个活动: 活动 A 与活动 B. 要求老师参加活动至少带上一位男同学和一位女同学, 每个人恰好参加其中一个活动, 每个活动至少一人参加, 请问参与活动方法共有多少种？

    思考: 如果是 $m$ 位男同学, $n$ 位女同学, 1 位老师, 这题的答案是多少？

    \item  某校数学教师命制一张试卷，试卷要求考查函数、几何、概率统计三个板块内容，其中函数题3道、几何题2道、概率统计题2道，且同板块试题难度互不相同。现要求同一板块的试题不相邻且难度从易到难，则该试卷不同的排版方案共有多少种？

    \item  有编号为1，2，3的三个盒子，将$k$个不同的小球全部放入盒子，若每个盒子中所放球数不大于其编号的不同放法有$a_k$种，求$a_k$的最大值（$k\in\mathbb{N^*}$）。

    \item  现有红、黄、绿三种颜色的灯各两盏，以某种顺序排成一列，小皓拿着红、黄、绿三种颜色的球各一个，依次走过这些灯。其中：过绿灯时红球会变绿，过红灯时黄球会变红，过黄灯时绿球会变黄，其他球颜色不变，若小皓走到终点时手中的球颜色都一样，称这些灯构成“同化序列”，则“同化序列”有多少种？