矩阵计算作业三

您好，这是矩阵计算的第三次作业（2026年3月23日课）

问题1：对于\(n\)阶矩阵\(A\)，证明\(A\)的迹等于\(A\)的特征值之和。

设 \(A\) 为 \(n\) 阶矩阵，其特征值为 \(\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_n\)（计入重数）

考虑特征多项式\(f(\lambda)=\det(\lambda I-A)=(\lambda-\lambda_1)(\lambda-\lambda_2)\cdots(\lambda-\lambda_n)\)

而 $\(\det(\lambda I - A) = \begin{vmatrix} \lambda - a_{11} & -a_{12} & \dots & -a_{1n} \\ -a_{21} & \lambda - a_{22} & \dots & -a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ -a_{n1} & -a_{n2} & \dots & \lambda - a_{nn} \end{vmatrix}\)$ 根据代数余子式法求行列式，可知，只有反复划去主对角线上的元素才能产生\(\lambda^n,\lambda^{n-1}\)，得 \(\lambda^{n-1}\) 的系数为：\(-(a_{11} + a_{22} + \dots + a_{nn})\)根据高次方程韦达定理，\(\displaystyle \sum_{i=1}^{n}\lambda_i=\sum_{i=1}^{n}a_{ii}=tr(A)\)，得证。

问题2：证明：\(\rank\{AB\}\le \min\{\rank(A),\rank(B)\}\)

考虑分别证明 \(\text{rank}(AB) \le \text{rank}(A)\) 和 \(\text{rank}(AB) \le \text{rank}(B)\)。

设 \(B = [b_1, b_2, \dots, b_p]\)，则 \(AB = [Ab_1, Ab_2, \dots, Ab_p]\)。

而 \(Ab_i\) 是 \(A\) 的列向量的线性组合，则 \(AB\) 的列空间是 \(A\) 的列空间的子空间。

子空间维数不超过原空间维数，故 \(\text{rank}(AB) \le \text{rank}(A)\) 又\(\text{rank}(AB) = \text{rank}((AB)^T) = \text{rank}(B^T A^T)\) 则\(\text{rank}(B^T A^T) \le \text{rank}(B^T)\)。 因为 \(\text{rank}(B^T) = \text{rank}(B)\)，所以 \(\text{rank}(AB) \le \text{rank}(B)\)

故原命题得证。