Untitled 28

（5）我们接下来尝试作出进一步的推广：当$x_0\in A$时，定义$x_{n}=f(x_{n-1}),n\in\mathbb{N^*}$，可知$\forall i\in\mathbb{N^*}$，都有$x_i=x_0$。当$x_0\in B\setminus A$时，则如第（4）问呈现的一般。现在假设$D=\{x|f(f(f(x)))=x\},x=D\setminus(A\cup B)$，且$D\neq \varnothing$，数列$\{a_n\}$满足$a_{n+1}=f(a_n),n\in\mathbb{N^*}$

（Q1）证明：存在某个首项$a_1\in I$，使得$\{a_n\}$是周期为3的数列。

（Q2）假设$a<b<c$，$f(b)=a,f(c)=b,f(c)=a$，（Q1）问证明了这样的$a,b,c$是存在的。阅读并尝试理解下述证明：$\forall k\in\mathbb{N^*}$，存在周期为$k$的数列$\{a_n\}$.

\begin{proof}

考虑区间$I_1=[a,b],I_2=[b,c]$，因为$f(b)=a,f(c)=b$，根据连续性\marginnote{}，$f$会把区间$[a,b]$映射到一个包含了$[b,c]$的大区间，即$I_2\subseteq f(I_1)$。

又因为$f(b)=c, f(c)=a$，根据连续性，$f$ 会把区间 $[b, c]$ 映射成一个包含 $[a, c]$ 的大区间，即$f(I_2) \supseteq[a,c]= I_1 \cup I_2$。

给出\textbf{引理（覆盖引理）}设 $f$ 是连续函数，$I, J$ 是两个闭区间。如果 $f(I) \supseteq J$（即 $I$ 在 $f$ 下的像覆盖了 $J$），那么：

在 $I$ 中一定存在一个闭子区间 $I' \subseteq I$，使得 $f(I') = J$。
如果 $I \supseteq J$ 且 $f(I) \supseteq I$，那么一定存在 $x \in I$ 使得 $f(x)=x$

因为 $f(I_2) \supseteq I_2$，根据引理，可以找到一个闭子区间 $A_0 \subseteq I_2$，使得 $f(A_0) = I_2$。

因为 $A_0 \subseteq I_2$ 且 $f(A_0) = I_2 \supseteq A_0$，我们可以继续在 $A_0$ 内部找：

找到 $A_1 \subseteq A_0 \subseteq I_2$, 使得 $f(A_1) = A_0$。

找到 $A_2 \subseteq A_1$, 使得 $f(A_2) = A_1$。

循环往复，找到 $A_{k-2} \subseteq A_{k-3}$, 使得 $f(A_{k-2}) = A_{k-3}$。

此时，对任意 $x \in A_{k-2}$，在连续 $k-2$ 次迭代中，点都留在 $I_2$ 里。即 $x, f(x), f^2(x), \dots, f^{k-2}(x) \in I_2$。

现在看第$k-1$次迭代：

由于 $f(A_{k-2}) = A_{k-3} \dots = I_2$，且我们已知 $f(I_2) \supseteq I_1$，所以必然存在一个更小的闭子区间 $A_{k-1} \subseteq A_{k-2}$，使得$f^{k-1}(A_{k-1}) = I_1$。

再看第 $n$ 次迭代：

因为 $f^{k-1}(A_{k-1}) = I_1$，所以 $f^k(A_{k-1}) = f(I_1) \supseteq I_2$。由于我们的起始点所在的区间 $A_{k-1} \subseteq I_2$，我们得到了一个关键包含关系：$f^k(A_{k-1}) \supseteq A_{n-1}$。

由$f$ 是连续函数可知$f^k$ 也是连续函数。

对$F = f^k$，它在一个闭区间 $A_{k-1}$ 上的像覆盖了这个区间本身（$F(A_{k-1}) \supseteq A_{k-1}$），根据介值定理，在 $A_{k-1}$ 中必然存在一个点 $x^*$，使得： $$f^k(x^*) = x^*$$

（注：严谨的证明还需说明$k$是最小正周期。）

\end{proof}

这一结论是李-约克定理的一部分：如果一个连续函数有周期为3的点，那么它就具有任何周期的点（即上方所述），以及\textbf{非周期的混沌轨道}.对于起始元素为$x,y$的混沌轨道，它们满足：

（a）轨道在演化过程中会无数次地相互靠近，距离可以趋近于 0，即： $$\liminf_{n \to \infty} |f^n(x) - f^n(y)| = 0$$

这意味着，无论这两个点最初离得多远，在未来的某个时刻，它们总会紧贴在一起。

（b）虽然它们会无限靠近，但它们绝对不会合并，也绝对不会保持靠近。它们在靠近之后总会再次拉开距离，且拉开的距离大于一个固定的常数，即： $$\limsup_{n \to \infty} |f^n(x) - f^n(y)| > \epsilon \quad (\text{对于某个 } \epsilon > 0)$$

这描述了一种“若即若离”的行为。

（c）它们独立于周期轨道，永远不会落入任何规律性的循环之中。对于混沌集合 $S$ 中的任意一点 $x$ 和系统中的任何一个周期点 $p$，点 $x$ 的轨道永远不会被周期轨道吸引。

上述定理表明：即便是一个极其简单的非线性确定性公式，也能演化出极其复杂的，不可预测的混沌行为，例如逻辑斯谛映射：$x_n=rx_n(1-x_n)$，$x_n$代表第代种群的数量（通常归一化在0到1之间，0表示灭绝，1表示达到环境负荷极限。），$r$表示增长率，$(1-x_n)$体现生存竞争，当种群过大时会造成下一代数量下降。

当$r>3.57$时，系统进入混沌状态，$x_n$的轨迹看起来完全是随机的，不再有任何规律性的周期。

我们非常希望预测未来，可是，即使是上面的一个如此简单的迭代公式，随着参数的改变，都可能进入到完全无序的状态，这时，我们便难以把握住其发展的方向。

如果是考虑更加复杂的系统呢？例如大气的环流、湍流。尽管我们目前可以在短期内较为精确地预测天气，但李-约克定理也表明了：精确的长期天气预报在物理上几乎是不可能的。