概率论与数理统计第三章

条件分布相关结论：证明：对连续型随机变量\((X,Y)\)，其概率密度函数为\(p(x,y)\),边缘密度函数分别为\(P_X(x),P_Y(y)\)，有\(\displaystyle P_{X|Y=y}(x)=\frac{p(x,y)}{P_Y(y)},P_{Y|X=x}(y)=\frac{p(x,y)}{P_X(x)}\)

独立性判断：\(F(x,y)=F_X(x)F_Y(y)或p(x,y)=P_X(x)P_Y(y)\)是随机变量\(X,Y\)独立的充要条件。

【第三章习题】设随机变量\(X\)在\((0,1)\)上随机取值，当观察到\(X=x\)时，\(Y\)在\((x,1)\)上随机取值，（1）求\(P_Y(y)\)，（2）求\(\displaystyle P(Y>\frac{1}{2}),P(X+Y>1)\)

【第三章习题】设随机变量\(X,Y\)相互独立，且\(X,Y\sim U[0,1]\)，令\(U=\max (X,Y),V=\min (U,V)\)，分别求\(U,V\)的密度函数与\(p(u,v)\)