概率论与数理统计第六章
\(\chi^2\)分布
若\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)独立同分布，且均服从\(N(0,1)\)，则\(Y=\displaystyle \sum_{i=1}^{n}X_i^2\)服从自由度为\(n\)的\(\chi^2\)分布，记为\(Y\sim\chi^2(n)\)
性质
（1）可加性：若\(Y_1\sim\chi^2(n_1),Y_2\sim\chi^2(n_2)\)，且\(Y_1,Y_2\)相互独立，则\(Y_1+Y_2\sim\chi^2(n_1+n_2)\)
（2）若\(Y\sim\chi^2(n)\)，则\(EY=n,DY=2n\)。
\(t\)分布
若随机变量\(X\sim N(0,1),Y\sim\chi^2(n)\)，\(X,Y\)相互独立，则随机变量\(\displaystyle T=\frac{X}{\sqrt{Y/n}}\)服从自由度为\(n\)的\(t\)分布，记为\(T\sim t(n)\)。在小样本统计推断中使用。
\(F\)分布
设\(U\sim \chi ^2(n_1),V\sim\chi^2(n_2)\)，且相互独立，则随机变量\(\displaystyle F=\frac{U/n_1}{V/n_2}\)服从自由度为\((n_1,n_2)\)的分布，记为\(F\sim F(n_1,n_2)\)
性质
（1）若\(F\sim F(n_1,n_2)\)，则\(\displaystyle \frac{1}{F}\sim F(n_2,n_1)\)
（2）若\(T\sim t(n)\)，则\(T^2\sim F(1,n)\)
两个结论：
设\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)是来自正态总体\(N(\mu,\sigma^2)\)的一个样本，则
（1）\(\displaystyle \frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}\sim \chi^2(n-1)\)
（2）\(\overline{X}与S^2\)相互独立
（1）（2）的证明
三个推论：
（1）设\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)是来自正态总体\(N(\mu,\sigma^2)\)的一个样本，有：
（1）的证明
由\(\displaystyle \frac{\overline{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}\sim N(0,1)与结论(1))\)，有
（2）设\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)是来自正态总体\(N(\mu_1,\sigma_1^2)\)的一个样本，\(Y_1,Y_2,\cdots,Y_n\)是来自正态总体\(N(\mu_2,\sigma_2^2)\)的一个样本，且两样本相互独立，记\(\overline{X},\overline{Y}\)分别为它们的样本均值，\(S_1^2,S_2^2\)分别为它们的样本方差，则
（2）的证明
\(\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{(n_1-1)S_1^2}{\sigma^2_1}/(n_1-1)}{\displaystyle \frac{(n_2-1)S_2^2}{\sigma^2_2}/(n_2-1)}\sim F(n_1-1,n_2-1)\)
（3）设\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)是来自正态总体的一个样本，\(Y_1,Y_2,\cdots,Y_n\)是来自正态总体的一个样本，且两样本相互独立，则
（3）的证明
可知
故
代回即得到所证命题。
【相关习题】
设\((X_1,X_2,X_3,X_4)\)是\(X\sim N(0,4)\)的一个样本，设\(Y=a(X_1-2X_2)^2+b(3X_3-4X_4)^2\)，求\(a,b\)使\(Y\sim \chi^2分布\)
设\((X_1,X_2,\cdots,X_6)\)为来自正态总体\(X\sim N(0,\sigma^2)\)的一个样本，设\(\displaystyle Y=\frac{X_1+X_3+X_5}{\sqrt{X_2^2+X_4^2+X_6^2}}\)，求\(Y\)分布
设\(X_i\sim N(\mu,\sigma^2)\)，求证：\(\displaystyle E(S^2)=\sigma^2\)
Tip
两种方法：
（1）用第四章的期望求解法，但在求解\(D(S^2)\)时困难
（2）用第六章的\(\displaystyle \frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}\sim\chi^2(n-1)\)，再根据卡方分布的期望与方差转换即可。
设\(X_1,X_2,\cdots,X_{2n}(n\ge 2)\)是来自正态总体\(N(\mu,\sigma^2)\)的样本，\(\displaystyle \overline{X}=\frac{1}{2n} \sum_{i=1}^{2n}X_i,Y=\sum_{i=1}^{n}(X_i+X_{n+i}-2\overline{X})^2\)，求\(EY\)
Tip
此处：\(\displaystyle \sum_{i=1}^{n}(X_i+X_{n+i}-2\overline{X})^2\)变形为：\(\displaystyle \sum_{i=1}^{n}[(X_i-\overline{X})+(X_{n+i}-\overline{X})]^2\)，得\(\displaystyle EY=E[\sum_{i=1}^{2n}(X_i-\overline{X})^2 +2\sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline{X})(X_{n+i}-\overline{X}) ]\)，后者化为\(\displaystyle 2\sum_{i=1}^{n}X_iX_{n+i}-n\overline{X}^2\)，求得期望为\(-\sigma^2\)，前者可做卡方转换。
设\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)是来自正态总体\(N(\mu_1,\sigma^2)\)的样本，\(Y_1,Y_2,\cdots,Y_n\)是来自正态总体\(N(\mu_2,\sigma^2)\)的样本，求\(\displaystyle \frac{\displaystyle \sum_{i=1}^{n_1}(X_i-\overline{X} )^2+\sum_{i=1}^{n_2}(Y_i-\overline{Y})^2 }{n_1+n_2-2}\)的期望与方差。
【第六章习题T9】设\(X_1,X_2,\cdots,X_{n+1}\)是来自正态总体\(N(\mu,\sigma^2)\)的样本，\(\displaystyle \overline{X}=\sum_{i=1}^{n} X_i, \quad S^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline{X})^2\),求\(\displaystyle \frac{X_{n+1}-\overline{X}}{S} \sqrt{\frac{n}{n+1}}\)的分布
【2024NJU期末】设\(X_1,X_2,\cdots ,X_{2n}\)为相互独立的随机变量，均服从\(N(0,1)\)，\(\displaystyle \overline{X}=\frac{1}{2n}\sum_{i-1}^{n}X_i\)，求\(\displaystyle Y=\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{n}(X_i+X_{n+i}-2\overline{X})^2\)的分布\(\boxed{\chi^2(n-1)}\)