向量与解三角形补充习题

\item \textbf{【2021成都三诊理12改编】}已知等边$\Delta ABC$的三个顶点均在圆$x^2+y^2=4$上，点$P(3,\sqrt{6})$，则$\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PC}$的最小值为$(\triangle)$

\item 设$A,B$是平面直角坐标系中关于$y$轴对称的两点，且$|\overrightarrow{OA}|=2$，若存在$m,n\in\mathbb{R}$，使得$m\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{OA}$与$n\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{OB}$垂直，且$|(m\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{OA})-(n\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{OB})|=2$，则$|\overrightarrow{AB}|$的最小值为$(\triangle)$

\item \textbf{【2024宁波二模9】（多选）}若平面向量$\vec{a},\vec{b},\vec{c}$满足$|\vec{a}| = 1$，$|\vec{b}| = 1$，$|\vec{c}| = 3$且$\vec{a} \cdot \vec{c} = \vec{b} \cdot \vec{c}$，则

（A） $|\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}|$的最小值为2 （B）$|\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}|$的最大值为5

1	`（C）$\|\vec{a} - \vec{b} + \vec{c}\|$的最小值为2`

（D） $|\vec{a} - \vec{b} + \vec{c}|$的最大值为$\sqrt{13}$

\item 已知$O$是$\triangle ABC$所在平面内一点,且$\displaystyle |\overrightarrow{AB}|=2$,$\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{AC}=-1$,$\overrightarrow{OC}\cdot\overrightarrow{AC}=1$,则$\angle ABC$的最大值为

（A）$\displaystyle \frac{\pi}{6}$ （B）$\displaystyle \frac{\pi}{4}$ （C）$\displaystyle \frac{\pi}{3}$ （D）$\displaystyle \frac{\pi}{2}$

\item \textbf{【2026“数海漫游一模”（网络联考）5】}若向量$\vec{a},\vec{b}$满足$\vec{a}+\vec{b}=(1,2)$，则$\vec{a}\cdot \vec{b}$的最大值是

（A）$1$（B）$\displaystyle\frac{5}{4}$（C）$\displaystyle \frac{5}{2}$（D）$2$

\item \textbf{【2025成都七中高一期中8】}$\Delta ABC$的垂心为$H$，设函数$f(x)=|x^2\overrightarrow{HA}+x\overrightarrow{HB}+\overrightarrow{HC}|$，则$f(x)$的零点个数最多为$(\triangle)$

\item \textbf{【2025“数海漫游二模”（网络联考）10】}若 $\triangle ABC$ 的边上存在一点 $P$, 满足 $|AP|:|BP|:|CP|=1:2:3$, 则 $\displaystyle \frac{|AB|}{|BC|}$ 的可能取值有

\choices{$\displaystyle \frac{1}{6}$}{$\displaystyle \frac{1}{3}$}{$\displaystyle 1$}{$\displaystyle 2$}

\item \textbf{【2024长沙市适应性考试20】}在$\triangle ABC$中,角$A,B,C$所对的边长分别为$a,b,c$,且满足$a\sin A=2b\sin A\cos B$.

（1）证明:$\displaystyle a^2-b^2=bc^2$;

（2）如图,点$D$在线段$AB$的延长线上,且$|AB|=3$,$|BD|=1$,当点$C$运动时,探究$|CD|-|CA|$是否为定值？

\item \textbf{【2026“数海漫游一模”（网络联考）11】（多选）}在平面直角坐标系中，称横纵坐标均为整数的点为格点，若$\Delta ABC$的三个顶点都是格点，则

（A）$\sin A+\sin 2B+\sin 2C$存在最大值

（B）$\sin 2A+\sin 2B+\sin 2C$不存在最大值

（C）点$A$到$BC$的距离存在最小值

（D）$\Delta ABC$的面积存在最小值

\item \textbf{【2025成都三诊8】}在$\Delta ABC$中，$\angle BAC$的角平分线$AD$交$BC$于点$D$，若$CD=\sqrt{6}AB$，则$\tan \angle ABC$？

\item \textbf{【2025长沙市适应性考试14】}在$\Delta ABC$中，角$A,B,C$所对的边分别为$a,b,c$，且外接圆半径为$R=5$，则$\displaystyle \frac{abc}{a^2+b^2+2c^2}$的最大值为？

\item \textbf{【2025武汉二调17】}线段$AC,BD$交于$O$，且$\displaystyle \angle AOD=\angle BOC=\frac{\pi}{4},AC=2,BD=2\sqrt{2},BC=AD$。

（1）证明：$O$为$BD$中点（2）若$\sqrt{5}\sin2A+\cos B=\sqrt{5}$，求$OC$的长。

\item \textbf{【2025武汉九调7】}已知$\Delta ABC$内角$A,B,C$满足$\sin A=-6\cos B\cos C,\cos A=3\sin B\sin C$，则$\tan A=$

\choices{$\displaystyle 2$}{$\displaystyle 4$}{$\displaystyle 8$}{$\displaystyle 9$}

\item \textbf{【2023T8联考6】}在$\triangle ABC$ 中，$\displaystyle \sin(B-A)=\frac{1}{4}$，且 $\displaystyle 2a^{2}+c^{2}=2b^{2}$，则 $\displaystyle \sin C=$

\choices{$\displaystyle \frac{2}{3}$}{$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$}{$\displaystyle \frac{1}{2}$}{$\displaystyle 1$}

\textbf{【2026闵行二模12】}定义：平面内图形 $\Gamma$ 上的所有点在直线 $l$ 上的射影所组成的图形称为 $\Gamma$ 在 $l$ 上的射影。若存在边长为 $m$ 的正三角形在正方形的四条边所在直线上的射影长度之和为4，则 $m$ 的取值范围为

\textbf{【2026闵行二模16】}已知平面上13个向量 $\vec{a_1},\vec{a_2},\dots,\vec{a_{13}}$，其中 $|\vec{a_1}|=1$。若对任意 $n \in \mathbb{N}$，$1 \leq n \leq 12$，总有 $|\vec{a_{n+1}}|=\sqrt{2}|\vec{a_n}|$ 且 $\vec{a_n} \cdot \vec{a_{n+1}}=0$，则 $|\vec{a_1}+\vec{a_2}+\dots+\vec{a_{13}}|$ 的最小值为（） A. 0 B. $\sqrt{3}$ C. $16\sqrt{6}$ D. $63\sqrt{2}$