函数（含导数）

【基础】【函数分析】已知函数\(f(x)=e^x-x-1\)。（2）若\(f(\ln x)\ge kx-x\ln x-1\)恒成立，求实数\(k\)的取值范围；（3）当\(a\ge1\)时，讨论\(g(x)=f(x)-ax \cos x\)在区间\(\displaystyle (-\pi,\frac{\pi}2)\)上零点的个数。

高中应试数学随记

学生不会思考，热衷于盲目地记诵知识，方法技巧，结论，甚至是所谓的“秒杀大招”，看似勤快充实，实际搜罗到的都是孤立割裂的知识，完全不成体系，做死板的题也就罢了，一旦涉及新的，互相联系的，涉及推广的，就一筹莫展，呜呼哀哉了。钱锺书是学贯古今的天才，他写过一本书，叫做《管锥编》，这本书实际上是他练习所学海量知识的成果。起初，那些知识都是若干不相联系的水塘，即所谓的死水，死水放久了必然就变质腐败，最后干涸，仿佛从未存在一般，而真正的思考可以将这些水塘联系起来，并予以泉源，赋予生机，不仅知识活跃起来，更是从中能孕育出新的思想，新的创造。

【2025武汉九调19】已知函数\(f(x)=(x^2-kx+1)\ln x\)在\((0,1),(1,+\infty)\)各恰有一个零点，分别记为\(x_1,x_2,x_1<x_2\)。设\(k>2\)，\(g(x)=f(x)-a\)有三个零点\(t_1,t_0,t_2,t_1<t_0<t_2\)，求证：\(t_2-t_1\le x_2-x_1\)

讨论\(f(x)=a^x-\log_a x(a>0,a\neq 1)\)的零点个数。

已知函数\(\displaystyle f(x)=\frac{a^x+b}{x}(x>0,a>1)\)存在极值点\(x_0\)。（2）求\(b\)的取值范围并证明\(f(x)\ge f(x_0)\)；（3）若\(\displaystyle \frac{a}{b}=e\)且\(\displaystyle f(x)\ge \frac{1}{x_0-1}\)，求\(a\)的取值范围。

设函数\(f(x)=e^{ax}+e^{bx}-x\)，且\(a,b>0\)，若\(f(x)\)有且仅有一个零点\(x_0\)，（i）证明\(e+1< x_0\le 2e\)：（2）当\(a=(e+2)b\)时，求\(x_0\)

设函数\(f(x)=a^x-2ex^2(a>0且a\neq 1)\)，若\(f(x)\)有两个极值点，且\(f(x)\)只有一个零点，求\(\ln a\)的取值范围。