函数

【基础】【函数基本性质】若\(\displaystyle f(x)=(x-\frac{a}{2}-1)\log_2(\frac{x-a}{b-x})\)的图像存在对称轴，求\(b\)的值\(\boxed{2}\)

【2019高联A卷，6】 对任意闭区间 \(I\)，用 \(M_I\) 表示函数 \(y = \sin x\) 在 \(I\) 上的最大值。若正数 \(a\) 满足 \(M_{[0,a]} = 2M_{[a,2a]}\)，则 \(a\) 的值为

【2023高联B卷，6】 将所有非完全平方的正奇数与所有正偶数的立方从小到大排成一列（前若干项依次为 \(3,5,7,8,11,13,\cdots\)），则该数列的第 \(2023\) 项的值为

【2018江苏高考，14】 已知集合 \(A = \{x|x = 2n - 1,n \in \mathbb{N}^*\}\)，\(B = \{x|x = 2^n,n \in \mathbb{N}^*\}\)，将 \(A \cup B\) 中所有元素从小到大依次排列构成一个数列 \(\{a_n\}\)。记 \(S_n\) 为数列 \(\{a_n\}\) 的前 \(n\) 项和，则使得 \(S_n > 12a_{n+1}\) 成立的 \(n\) 的最小值为

【2015高联A卷，5】 在正方体中随机取 \(3\) 条棱，它们两两异面的概率为

【2022全国甲，15】 从正方体的 \(8\) 个顶点中任选 \(4\) 个，则这 \(4\) 个点在同一个平面的概率为

已知 \(A_1,A_2,\cdots,A_n\) 是一个样本空间中的 \(n\) 个事件。

(1) 证明Bonferroni不等式： $\(\displaystyle \mathbb{P}\left(\bigcup_{i=1}^n A_i\right) \ge \sum_{i=1}^n \mathbb{P}(A_i) - \sum_{1\le i<j\le n} \mathbb{P}(A_i \cap A_j).\)$

(2) 设 \(n \ge 2\)，并且当 \(i \neq j\) 时 \(\mathbb{P}(A_i \cap A_j) \le \frac{1}{n}\)。证明：存在与 \(n\) 无关的常数 \(c\)，使得 $\(\displaystyle \sum_{i=1}^n \mathbb{P}(A_i) \le c\sqrt{n}.\)$