Untitled 29

  1. 设\(n\)是正整数,有穷整数数列\(A:a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}(a_{i}\in\mathbb{Z},1\leqslant i\leqslant n)\).若存在正整数\(k(k\leqslant n)\)满足:对\(\forall1\leqslant i\leqslant n-k+1\),都有\(a_{i}+a_{i+1}+\cdots+a_{i+k-1}>0\)恒成立,则称\(A\)为\(P(k)\)数列,数列\(A\)的所有项之和记为\(S(A)\). (1) 判断\(A:1,-1,3,-2,1\)是否为\(P(3)\)数列?是否为\(P(4)\)数列?请说明理由; (2) 若\(n=9\),\(A\)是\(P(2)\)数列,且\(a_{1}+a_{9}=5\),求\(S(A)\)的最小值; (3) 若\(n=11\),\(A\)是\(P(3)\)数列,且\(a_{1}=1\),若将\(A\)各项重新排列后能构成等差数列,求\(S(A)\)的最小值.

  2. 已知抛物线\(C:x^{2}=2py(p>0)\),\(O\)为坐标原点. (1) 过\(C\)上与\(O\)不重合的任意一点\(P\)作\(C\)的切线,与\(x\)轴、\(y\)轴分别交于\(Q,R\)两点,证明:\(\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OR}=2\overrightarrow{OQ}\); (2) 若直线\(y=kx+4\)与\(C\)交于\(A,B\)两点,且以线段\(AB\)为直径的圆过点\(O\). (i) 求\(C\)的方程; (ii) 若\(M,N\)是\(C\)上与\(O\)不重合的两点,且\(\triangle OMN\)的内切圆的圆心为\(D(0,2)\),求内切圆\(D\)的半径\(r\).

  3. 设\(h(x),g(x)\)是定义在\(\mathbb{R}\)上的两个函数，若\(\forall x_{1},x_{2}\in\mathbb{R}\)，\(x_{1}\neq x_{2}\)，有\(|h(x_{1})-h(x_{2})|\geqslant|g(x_{1})-g(x_{2})|\)恒成立，下列四个命题正确的是 （A）若\(h(x)\)是奇函数，则\(g(x)\)也一定是奇函数 （B）若\(g(x)\)是偶函数，则\(h(x)\)也一定是偶函数 （C）若\(h(x)\)是周期函数，则\(g(x)\)也一定是周期函数 （D）若\(h(x)\)是\(\mathbb{R}\)上的增函数，则\(H(x)=h(x)-g(x)\)在\(\mathbb{R}\)上一定是减函数

  4. 设抛物线\(E:y^{2}=2px(p>0)\)的焦点为\(F\)，过点\(P(3,0)\)的动直线\(l\)交抛物线\(E\)于\(A\)，\(B\)两点，点\(T(2,2)\)，当直线\(AT\)垂直于\(x\)轴时，\(|AF|=3\)。 （1）求抛物线\(E\)的标准方程； （2）若直线\(l\)过点\(T\)，求\(\triangle FAB\)的面积； （3）若直线\(FT\)平分\(\angle AFB\)，求直线\(l\)的斜率。

  5. 设椭圆\(C:\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)\)，点\(A(2,0)\)和\(B(0,1)\)均为椭圆\(C\)的顶点，点\(M\)，\(N\)在椭圆\(C\)上。若\(MN\parallel AB\)，则四边形\(ABMN\)面积的最大值为 （A）\(4\sqrt{2}\) （B）\(4\) （C）\(2\sqrt{2}\) （D）\(2\)

  6. 选取正方体表面上两个不同的点\(P\)，\(Q\)，定义第\(k\)次操作\(\Gamma_{k}(\theta)\)为“将正方体绕直线\(PQ\)旋转\(\theta\)角”。则经过下列操作，正方体可能与自身重合的有 （A）\(\Gamma_{1}(90^{\circ})\)，\(\Gamma_{2}(180^{\circ})\) （B）\(\Gamma_{1}(40^{\circ})\)，\(\Gamma_{2}(40^{\circ})\)，\(\Gamma_{3}(40^{\circ})\) （C）\(\Gamma_{1}(90^{\circ})\)，\(\Gamma_{2}(60^{\circ})\) （D）\(\Gamma_{1}(75^{\circ})\)，\(\Gamma_{2}(15^{\circ})\)，\(\Gamma_{3}(60^{\circ})\)

（10）已知数列\(\{a_{n}\}\)满足\(a_{1}=1\)，\(\dfrac{a_{n+1}}{a_{n}}\in\{2,-2\}(n=1,2,\cdots)\)，\(S_{n}\)为\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和，则下列结论错误的是 （A）存在\(\{a_{n}\}\)，使得\(S_{4}=3\)成立 （B）存在\(\{a_{n}\}\)，使得\(S_{2k+1}>S_{2k}\)且\(S_{2k+1}>S_{2k+2}\)对任意\(k\notin\mathbb{N}^{*}\)成立 （C）对任意\(k\in\mathbb{N}^{*}\)，存在\(\{a_{n}\}\)，使得\(|S_{k}|=1\)成立 （D）对任意奇数\(k\)，存在\(\{a_{n}\}\)和\(m\in\mathbb{N}^{*}\)，使得\(S_{m}=k\)成立

% 2026苏锡常镇高三一调立体几何题 11. 已知异面直线\(l_1\)，\(l_2\)，\(l_1\perp l_2\)，\(A\in l_1\)，\(B\in l_2\)，\(AB\perp l_1\)，\(AB\perp l_2\)，\(P\in l_1\)，\(Q\in l_2\)，四点\(A\)，\(B\)，\(P\)，\(Q\)不共面，\(O\)是线段\(PQ\)的中点，\(AB=2\)，\(PQ=4\)，则 （A）当\(AP=2\)时，\(BQ=2\sqrt{2}\) （B）当\(AP=2\)时，直线\(AB\)，\(PQ\)所成角为\(60^\circ\) （C）点\(O\)到直线\(AB\)的距离为\(\sqrt{3}\) （D）三棱锥\(A-BPQ\)的体积的最大值为\(3\)

  1. 有穷等差数列\(\{a_n\}\)的前4项和为28、后3项和为111。已知该数列项数大于7，且各项都是整数，则它的项数为 （A）9 （B）11 （C）13 （D）15

  2. 设函数\(f(x)=\dfrac{a}{e^{ax+1}}-\dfrac{x}{be^x}\)，其中\(a\)、\(b\)为正实数。若\(f(x)\)有零点，则 （A）\(a\geqslant1\)或\(b\leqslant4\) （B）\(a<1\)或\(b\leqslant4\) （C）\(a\geqslant1\)且\(b>4\) （D）\(a<1\)且\(b>4\)

  3. 一组数据\(\{x_i\}\)（\(i=1\)，2，3……，\(n\)）的平均数是\(\bar{x}\)，总体方差是\(d\)，立方和是\(S\)，数据点总数为\(n\)，则\(\sum\limits_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^3=\underline{\quad\quad}\)。

  4. 设函数\(f(x)=\cos\omega x-\omega\cos(\omega x+\varphi)\)，\(0<\varphi<2\pi\)，\(\omega>0\)。 （1）若\(\omega=1\)、\(\varphi=\dfrac{\pi}{3}\)，求\(f(x)\)的最大值。 （2）若\(f(x)\)的最大值为\(\omega\)，求\(f(x)\)的最大正周期。 （3）若\(f(x)\)的最大值为1，\(x_0\)为\(f(x)\)的任一极大值点，求证：\(x_0^2>1\)。

  5. 4名老师监考4场不同时段的考试，1场考试2人监考，1人监考2场考试，则共有（A）72（B）90（C）108（D）144种排列方式。 设集合\(S=\{2^t+2^s\mid 0\leqslant s<t, \text{且} s,t\in\mathbb{Z}\}\)。记\(S\)中所有的数从小到大排列成的数列为\(\{a_n\}\)。例如，数列\(\{a_n\}\)的前6项为\(3,5,6,9,10,12\)。 （1）已知奇数\(x,y,z\in S,\ x<y<z\)，判断\(x,y,z\)是否成等差数列，说明理由； （2）设整数\(k\geqslant 3\)。若\(\{a_n\}\)中的\(k\)项\(a_{n_1},a_{n_2},\dots,a_{n_k}\)成公差不为0的等差数列，则称这\(k\)项为\(\{a_n\}\)的一个\(k\)-等差子列。 （i）若\(\{a_n\}\)存在一个\(k\)-等差子列，证明：\(\{a_n\}\)存在无穷多个\(k\)-等差子列； （ii）证明：\(\{a_n\}\)不存在\(5\)-等差子列。 设集合\(S=\{2^t+2^s\mid 0\leqslant s<t, \text{且} s,t\in\mathbb{Z}\}\)。例如\(3,5,6,9,10,12\)均为\(S\)中元素。 （1）是否存在奇数\(x,y,z\in S(x<y<z)\)，使得\(x,y,z\)成等差数列？若存在，写出一组\((x,y,z)\)的值；若不存在，说明理由； （2）设整数\(k\geqslant 3\)。对于\(S\)的\(k\)元子集\(T\)，若\(T\)的所有元素从小到大排列后成等差数列，则称\(T\)为\(S\)的一个\(k\)-等差子集。 （i）若\(S\)存在一个\(k\)-等差子集，证明：\(S\)存在无穷多个\(k\)-等差子集； （ii）证明：\(S\)不存在\(5\)-等差子集。

  6. 已知椭圆\(C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{8}=1(a>2\sqrt{2})\)的左顶点为\(A\)，右焦点为\(F\)，且\(|AF|=4\)。 （1）求\(C\)的方程； （2）过\(A\)且不与\(x\)轴重合的直线与\(C\)的另一个交点为\(P\)，与直线\(x=9\)交于点\(Q\)，过\(A\)且平行于\(QF\)的直线与直线\(PF\)交于点\(R\)。 （i）若\(|PQ|=2|PA|\)，求\(\triangle AFR\)的面积； （ii）证明：存在定点\(G\)，使得\(\angle ARG=\angle FRQ\)。

  7. 设\(n\)为正整数，数列\(a_1,a_2,\dots,a_n\)和\(b_1,b_2,\dots,b_n\)满足\(a_i>0,\ b_i>0\)，且\(a_i+b_i=4,\ i=1,2,\dots,n\)。定义\(c_1,c_2,\dots,c_{2n}\)为\(a_1,a_2,\dots,a_n\)与\(b_1,b_2,\dots,b_n\)的所有项按从小到大的顺序排列所得到的数列。 （1）若\(n=4,\ a_1=1,\ a_2=2,\ b_3=e,\ b_4=\pi\)，写出\(c_1,\ c_3,\ c_8\)； （2）若\(\dfrac{a_i}{b_i}=\dfrac{i^2+i+1}{i^2+i-1},\ i=1,2,\dots,n\)，求\(\sum\limits_{i=n+1}^{2n}c_i-\sum\limits_{i=1}^n c_i\)； （3）若\(3\sum\limits_{i=n+1}^{2n}c_i-5\sum\limits_{i=1}^n c_i\geqslant 4\)，证明：存在\(\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_n\in\{0,1\}\)，使得\(\sum\limits_{i=1}^n\lambda_i a_i\)和\(\sum\limits_{i=1}^n(1-\lambda_i)b_i\)都不大于\(\sum\limits_{i=1}^n|a_i-b_i|\)。

例题：已知关于\(z\)的方程\((z^2-4z+5)(z^2+az+9)=0(a\in\mathbb{R})\)有四个互不相等的根，若这四个根在复平面上对应的点共圆，则\(a\)的取值可能是（A）\(-4\)（B）\(-6\)（C）\(-7\)（D）\(-9\)。

  1. 【2025上海春季高考，21(2)】 已知函数 \(y = f(x)\) 的定义域是 \(D\)。对于 \(x \in D\)，定义集合 \(S_f(t) = \{x \in D \mid f(x) \ge f(t)\}\)。 （2）对于集合 \(A\)，若对任意 \(x \in A\) 都有 \(-x \in A\)，则称 \(A\) 为对称集。若 \(D\) 是对称集，证明：“函数 \(y = f(x)\) 是偶函数”的充要条件是“对任意 \(t \in D\)，\(S_f(t)\) 是对称集”。

  2. 【2017上海秋季高考，21(2)】 设定义在 \(\mathbb{R}\) 上的函数 \(f(x)\) 满足：对于任意的 \(x_1, x_2 \in \mathbb{R}\)，当 \(x_1 < x_2\) 时，均有 \(f(x_1) \le f(x_2)\)。 （2）若 \(f(x)\) 为周期函数，证明：\(f(x)\) 为常值函数。

  3. 【2006江苏高考，21】 设数列 \(\{a_n\}\)、\(\{b_n\}\)、\(\{c_n\}\) 满足：

[ b_n = a_n - a_{n+2}, \quad c_n = a_n + 2a_{n+1} + 3a_{n+2}, ] 其中 \(n = 1, 2, 3, \dots\)。证明 \(\{a_n\}\) 为等差数列的充分必要条件是 \(\{c_n\}\) 为等差数列且 \(b_n \le b_{n+1} \ (n = 1, 2, 3, \dots)\)。

  1. 【2019-2020南京大学人工智能学院秋季学期《高等代数I》期末考试】 （1）设 \(f(x)\) 是整系数多项式，证明：对任意 \(x_1, x_2 \in \mathbb{Z} \ (x_1 \ne x_2)\)，若 \(f(x_1) \ne f(x_2)\)，则 \(|x_1 - x_2| \le |f(x_1) - f(x_2)|\)。 （2）对于 \(m\) 个不同的整数 \(b_1, b_2, \dots, b_m\)（\(m \ge 3\)），补充定义 \(b_{m+1} = b_1\)，证明：不存在整系数多项式 \(f(x)\)，使得 \(f(b_i) = b_{i+1} \ (i = 1, 2, \dots, m)\)。

设 \(f\) 是定义在 \((-\infty, +\infty)\) 上的函数，满足对任意 \(x, y \in (-\infty, +\infty)\)，有 \(|f(x) - f(y)| \le |x - y|^\alpha\)，其中实数 \(\alpha > 1\)。证明：对任意的 \(x, y \in (-\infty, +\infty)\) 以及任意的正整数 \(n\)，都有 \(|f(x) - f(y)| \le \dfrac{1}{n^{\alpha-1}} |x - y|^\alpha\)。进而推导出 \(f(x)\) 必为常值函数。

设 \(a_i, b_i \ge M > 0, \ |a_i - b_i| \le \varepsilon, \ i = 1, 2, \dots, n\)。证明： [ \left| \prod_{i=1}^n \frac{1}{a_i} - \prod_{i=1}^n \frac{1}{b_i} \right| \le \frac{n\varepsilon}{M^{n+1}}. ]

  1. 如图，已知 \(F(1,0)\) 是抛物线 \(y^2=2px(p>0)\) 的焦点，\(M\) 是抛物线的准线与 \(x\) 轴的交点，斜率为负的直线 \(l\) 与抛物线交于 \(x\) 轴两侧的 \(A,B\) 两点，直线 \(MA,MB\) 与抛物线的另一个交点分别为 \(C,D\)，且 \(C,D\) 两点位于直线 \(l\) 的同侧，并满足 \(|MA|\cdot|MB|=|AC|\cdot|BD|\)。 （Ⅰ）求 \(p\) 的值及点 \(M\) 的坐标； （Ⅱ）若 \(\overrightarrow{OE}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}\)，求直线 \(EF\) 斜率的最大值。