函数补充习题
\textbf{【2013安徽19】}设函数 \(f(x)=ax-(1+a^2)x^2\)，其中 \(a>0\)，区间 \(I=\{x|f(x)>0\}\)。
（1）求 \(I\) 的长度（注：区间 \((\alpha,\beta)\) 的长度定义为 \(\beta-\alpha\)）；
（2）给定常数 \(k\in(0,1)\)，当 \(1-k\leqslant a\leqslant1+k\) 时，求 \(I\) 长度的最小值。
设 \(a\in\mathbb{R}\) 满足 \(a|x+1|\leq a^2+x^2\) 对 \(x\in\mathbb{R}\) 恒成立，则 \(a\) 的取值范
已知函数 \(f(x)=\sin x-m\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)\cos x-1\)，\(x\in\left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right]\)。 （1）当 \(m<0\) 时，证明 \(f'(x)\) 有唯一极值点； （2）讨论 \(f(x)\) 的零点个数； （3）若存在 \(t>0\)，当 \(x\in\left(\dfrac{\pi}{2}-t,\dfrac{\pi}{2}\right)\) 时，总有 \(|f(x)|<-2x+\pi\)，求符合条件的 \(m\) 的最小值。
（1）求函数 \(f(x)=5\cos x-\cos 5x\) 在区间 \([0,\frac{\pi}{4}]\) 的最大值； （2）给定 \(\theta \in (0,\pi)\) 和 \(a \in \mathbb{R}\)，证明：存在 \(y \in [a-\theta,a+\theta]\) 使得 \(\cos y \leq \cos \theta\)； （3）设 \(b \in \mathbb{R}\)，若存在 \(\varphi \in \mathbb{R}\) 使得 \(5\cos x-\cos(5x+\varphi) \leq b\) 对 \(x \in \mathbb{R}\) 恒成立，求 \(b\) 的最小值。
已知 \(A,B\) 两点在函数 \(f(x)=4^x(x>0)\) 的图象上，\(C,D\) 两点在函数 \(g(x)=2^x(x>0)\) 的图象上，且 \(AD\) 平行于 \(x\) 轴，\(AC\) 和 \(BD\) 平行于 \(y\) 轴。若线段 \(BD\) 的长度是线段 \(AC\) 长度的 \(12\) 倍，则线段 \(AD\) 长度为
设\(f(x)=\dfrac{\cos x}{\cos(x+\alpha)}\)，\(\alpha\neq k\pi\)，\(k\in\mathbb{Z}\)，它的一个对称中心是
已知函数\(f(x)=x^{3}-6x^{2}+12\)，若函数\(g(x)=|f(x-m)+n|\)为偶函数，则 （A）\(m=2,n=-4\) （B）\(m=-2,n=4\) （C）\(m=2,n=4\) （D）\(m=-2,n=-4\)
\textbf{【2025武汉九调19】}已知函数\(f(x)=(x^{2}-kx+1)\ln x\)在区间\((0,1)\)和\((1,+\infty)\)各恰有一个零点，分别记为\(x_{1}\)和\(x_{2}\)。 （1）求实数\(k\)的取值范围； （2）记曲线\(y=f(x)\)在点\((x_{1},0)\)处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为\(S\)，求\(\dfrac{S}{x_{2}-x_{1}}\)的最大值； （3）若函数\(g(x)=f(x)-a\)有三个零点\(t_{1}\)，\(t_{0}\)，\(t_{2}\)，其中\(t_{1}<t_{0}<t_{2}\)，证明：\(t_{2}-t_{1}\leqslant x_{2}-x_{1}\)。
- \item 若函数\(f(x)=x^4+4x^3+ax(a\in\mathbb{R})\)的图象存在对称轴，求\(f(x)\)的最小值为\((\triangle)\)
定义在\(\mathbb{R}\)上的函数\(y=f(x)\)和\(y=g(x)\)的最小正周期分别是\(T_{1}\)和\(T_{2}\)，已知\(y=f(x)+g(x)\)的最小正周期为\(1\)，则下列选项中可能成立的是 （A）\(T_{1}=1\)，\(T_{2}=2\) （B）\(T_{1}=\dfrac{1}{2},T_{2}=\dfrac{3}{4}\) （C）\(T_{1}=\dfrac{3}{4},T_{2}=\dfrac{5}{4}\) （D）\(T_{1}=\dfrac{3}{2},T_{2}=3\)
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(2026湖南九校联考)设函数\(f(x)=x^{3}-ax-b\),\(x\in\mathbb{R}\),\(a,b\in\mathbb{R}\). (1) 讨论函数\(f(x)\)的单调区间; (2) 当\(a=2\),\(b=0\)时,函数\(f(x)\)的图象上有且仅有\(2\)个点到原点距离为\(d\),求\(d\)的取值范围; (3) 函数\(f(x)\)的图象上是否存在唯一的一组点\(A_{1},A_{2},\cdots,A_{n}\),构成正\(n\)边形,\(n\in\mathbb{N}^{*}\)且\(n\geqslant3\)?若存在,请求出所有满足条件的\(n\)以及对应\(a\)的值;若不存在,请说明理由.
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已知函数\(f(x)=\dfrac{x^{2}+1}{x}+a\mathrm{e}^{1-x}(x>0)\). (1) 若\(a=1\),求\(f(x)\)的单调区间; (2) 若\(f(x)\geqslant3\ln x\),求\(a\)的取值范围; (3) 若\(a=-2\),设\(0<s<1<t\),且\(f(s)+f(t)=0\),证明:\(f(st)<f\left(\dfrac{1}{s}\right)+f\left(\dfrac{1}{t}\right)\).
- 下列对于函数\(f(x)=(x+a)(\cos2x-\sin x)\)的说法正确的是 （A）既可能存在对称中心,又可能存在对称轴 （B）可能存在对称中心,但不可能存在对称轴 （C）不可能存在对称中心,但可能存在对称轴 （D）既不可能存在对称中心,又不可能存在对称轴
- 已知函数\(f(x)=x+\cos x\). (1) 若\(f(2m+1)-f(2m-1)>2\),求证:\(-1<\sin m+\cos m<1\); (2) 若数列\(\{a_{n}\}\)满足\(a_{n}=\sin2n\),前\(n\)项和为\(S_{n}\),求证:\(-\dfrac{1}{2}\tan\dfrac{1}{2}<S_{n}<\dfrac{1}{2\tan\dfrac{1}{2}}\); (3) 若等差数列\(\{b_{n}\}\)的公差\(d=2026\),前\(n\)项和为\(T_{n}\),\(\sum\limits_{i=1}^{2026}f(b_{i})=1013\pi\),求\(T_{2026}\).
- 设 \(a > 0\)，且 \(a \ne 1\)，函数 \(f(x) = \sin ax - a\sin x\)。 （1）若 \(f(x)\) 在区间 \((0,2\pi)\) 上有唯一的极值点 \(x_0\)，证明：\(f(x_0) < \min\{2a\pi, (1-a)\pi\}\)。 （2）若 \(f(x)\) 在区间 \((0,2\pi)\) 上没有零点，求 \(a\) 的取值范围。
\item \textbf{【2013天津理8】}已知函数 \(f(x)=x(1+a|x|)\). 设关于 \(x\) 的不等式 \(f(x+a)<f(x)\) 的解集为 \(A\), 若 \(\displaystyle \left[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right] \subseteq A\), 则实数 \(a\) 的取值范围是
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