概率论与数理统计第二章

设随机变量\(X\)可能取\((a,b)\)，其概率密度函数为\(P_X(x)\)，设\(g(x)\)处处可导，且严格单调，则\(Y=g(X)\)为连续型随机变量，且：

\[ P_Y(y) = \begin{cases} P_X\bigl[g^{-1}(y)\bigr] \cdot \left| \frac{d}{dy}g^{-1}(y) \right|, & \min(g(a), g(b)) < y < \max(g(a), g(b)) \\ 0, & \text{otherwise} \end{cases} \]

推论1:若\(X\sim N(\mu,\sigma^2)\)，则\(aX+b\sim N(a\mu + b,a^2\sigma^2)\)

泊松分布常用于描述大量试验中稀有事件出现频数的概率模型。例：德国向伦敦投掷导弹，\(f_k\)表示落发飞弹的区域数，记\(\displaystyle P(x=k)=\frac{f_k}{N}\)，则\(X\sim P(\lambda)\)，\(\lambda\)为单发弹药命中某区域的平均概率。

证明泊松分布近似：当\(np=\lambda,p\to 0\)时，二项分布\(B(n,p)\)可近似为泊松分布\(P(\lambda)\)

【第二章习题】将3个小球随机放入4个盒子中，设盒子中球最多的个数为\(X\)，求\(X\)分布律。

【第二章习题】将1~9共9个数放入3*3格子中，设各列最小值为\(x,y,z\)，求\(T=\max(x,y,z)\)的分布律

【第二章习题T7】【小概率事件】某人声称可通过品尝区分两种酒，他独立实验10次成功3次，利用小概率事件原理推断，他是猜对的，还是确有区分能力的？（随机猜成功概率为\(\displaystyle \frac{1}{70}\)）

【NJU2024期中变式】【第二章习题T23】设随机变量\(X\sim N(\mu,\sigma^2)\)，求\(Y=2(1-|X|)\)的概率密度函数

证明二项分布的独立可加性，即：已知随机变量\(X\sim B(k_1,p),Y\sim B(k_2,p)\)，有\(X+Y\sim B(k_1+k_2,p)\)

证明正态分布独立可加性，即：若\(X,Y\)相互独立，\(X\sim N(\mu_1,\sigma_1^2),Y\sim N(\mu_2,\sigma_2^2)\)有\(X+Y\sim X\sim N(\mu_1+\mu_2,\sigma_1^2+\sigma_2^2)\)

【NJU20XX期中】【NJU2018期中】【例题】证明泊松分布独立可加性，即：已知随机变量\(X\sim P(\lambda_1),Y\sim P(\lambda_2)\)，有\(X+Y\sim P(\lambda_1+\lambda_2)\)

【NJU2019期中】设母鸡孵蛋数服从参数为\(\lambda\)的泊松分布，每个蛋孵出小鸡的概率为\(p\)，证明：其孵出小鸡数服从参数为\(\lambda p\)的泊松分布