复数补充习题
（1）证明：如果 \(a,b\) 都是复数，\(b \ne 0\)，且 \(s\) 是正实数，则三个复数 \(a + sbi\)，\(a - sbi\)，\(a + b\) 在复平面上对应的三个点构成等腰三角形。 若复平面上的三个点构成等腰三角形，借助图形，解释说明如何确定上述 \(a,b,s\) 的值，使得这三个点对应的复数分别为 \(a + sbi\)，\(a - sbi\) 和 \(a + b\)。
（2）证明：如果复平面上的等腰三角形的三个顶点对应的复数恰好是方程 \(z^3 + pz + q = 0\) 的根（\(p,q\) 都是复数），则存在非零实数 \(s\)，使得 [ \dfrac{p3}{q2} = \dfrac{27(3s^2 - 1)3}{4(9s2 + 1)^2}. ]
（3）求函数 \(f(x) = \dfrac{(3x - 1)^3}{(9x + 1)^2}\) 的单调区间。
（4）证明：如果复平面上的等腰三角形的三个顶点对应的复数恰好是方程 \(z^3 + pz + q = 0\) 的根，则 \(\dfrac{p^3}{q^2}\) 是实数且 \(\dfrac{p^3}{q^2} > -\dfrac{27}{4}\)。
（1）设复数 \(z\) 和 \(w\) 都是复数，\(z = a + bi\)，\(w = c + di\)。证明 \(|zw| = |z||w|\)。
（2）通过考虑复数 \(2 + i\) 和 \(10 + 11i\)，求一组正整数 \(h\) 和 \(k\) 使得 \(h^2 + k^2 = 5 \times 221\)。
（3）求一组正整数 \(m\)，\(n\) 使得 \(m^2 + n^2 = 8045\)。
（4）已知 \(102^2 + 201^2 = 50805\)。求一组正整数 \(p\) 和 \(q\) 使得 \(p^2 + q^2 = 36 \times 50805\)。
（5）求三组不同的正整数 \(r\) 和 \(s\)，使得 \(r^2 + s^2 = 1002082\) 且 \(r < s\)。
（6）已知 \(109 \times 9193 = 1002037\)。求一组正整数 \(t\) 和 \(u\) 使得 \(t^2 + u^2 = 9193\)。