立体几何补充习题

已知正四面体 \(A_1A_2A_3A_4\) 的棱长为 \(5\sqrt{2}\)，点 \(A_i\in\) 平面 \(\alpha_i(i=1,2,3,4)\)，且 \(\alpha_1\parallel\alpha_4\)，点 \(A_2,A_3\) 在 \(\alpha_1,\alpha_4\) 之间或在 \(\alpha_1,\alpha_4\) 内。记 \(d_{ij}\) 为 \(\alpha_i\) 与 \(\alpha_j(1\le i<j\le4)\) 平行时两平面间的距离，则 A. 该四面体外接球的表面积为 \(75\pi\) B. \(d_{14}\) 的最小值为 \(\dfrac{10\sqrt{3}}{3}\) C. 若 \(\alpha_1\parallel\alpha_2\)，且 \(A_3\in\alpha_2\)，\(d_{12}=\dfrac{5\sqrt{2}}{2}\)，则直线 \(A_1A_2\) 与 \(\alpha_1\) 所成的角为 \(\dfrac{\pi}{6}\) D. 若 \(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4\) 依次排列且两两平行，满足 \(d_{12}=2d_{23}=d_{34}\)，则 \(d_{14}=\dfrac{25\sqrt{13}}{13}\)

例3【2014上海学考，24】在底面半径和高均为1的圆锥中，\(AB,CD\) 是底面圆 \(O\) 的两条相互垂直的直径，\(E\) 是母线 \(PB\) 的中点。已知过 \(CD\) 与 \(E\) 的平面与圆锥侧面的交线是以 \(E\) 为顶点的抛物线的一部分，则该抛物线的焦点到圆锥顶点 \(P\) 的距离为 A. \(1\) B. \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) C. \(\dfrac{\sqrt{6}}{2}\) D. \(\dfrac{\sqrt{10}}{4}\)

\item \textbf{【2026“数海漫游一模”（网络联考）10】}已知 \(P\) 是棱长为2的正方体 \(ABCD-A_1B_1C_1D_1\) 表面上的动点（不与 \(A、C\) 重合），\(PA \perp PC\)，则

    （A） 点 \(P\) 到直线 \(B_1D_1\) 距离的最小值是 \(\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{2}\)

    （B）点 \(P\) 到直线 \(B_1D_1\) 距离的最大值是 \(\sqrt{6}\)

    （C） 三棱锥 \(P-A_1B_1C_1\) 体积的最小值是 \(\displaystyle \frac{2}{3}\)

    （D）三棱锥 \(P-A_1B_1C_1\) 体积的最大值是 \(\displaystyle \frac{4}{3}\)

\textbf{【2024长沙市适应性考试16】}已知正四棱锥\(P-ABCD\)的顶点均在球\(O\)的表面上,若正四棱锥的体积为\(1\),则球\(O\)体积的最小值为\((\triangle)\).

    \item 在半径为$R$的球中，内接三棱锥的体积最大值是$(\triangle)$.

\item 已知圆台形水杯盛有水（不计厚度），杯口的半径为 \(4\)，杯底的半径为 \(3\)，高为 \(6.5\)。当杯底水平放置时，水面的高度为水杯高度的一半。若放入一个半径为 \(r\) 的球（球被完全浸没），水恰好充满水杯，则 \(r=\)

1	`\choices{\(1.5\)}{\(2\)}{\(3\) }{\(3.25\)}`

\item \textbf{【2011江西理21】}（1）如图, 对于任一给定的四面体 \(A_1A_2A_3A_4\), 找出依次排列的四个相互平行的平面 \(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4\), 使得 \(A_i \in \alpha_i\) (\(i=1,2,3,4\)), 且其中每相邻两个平面间的距离都相等；

（2）给定依次排列的四个相互平行的平面 \(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4\), 其中每相邻两个平面间的距离都为 \(1\), 若一个正四面体 \(A_1A_2A_3A_4\) 的四个顶点满足: \(A_i \in \alpha_i\) (\(i=1,2,3,4\)), 求该正四面体 \(A_1A_2A_3A_4\) 的体积。

\item 已知二面角\(\displaystyle \alpha-AB-\beta\)的大小为\(\displaystyle \frac{\pi}{4}\)，\(\displaystyle O\in AB\)，\(\displaystyle P\in\alpha\)，且\(\displaystyle \angle POA=\frac{\pi}{6}\)，\(Q\)为\(\beta\)内异于\(O\)的任意一点，则\(\displaystyle \sin\angle POQ\)的最小值为

（A） \(\displaystyle \frac{1}{2}\) （B） \(\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}\) （C） \(\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{3}\) （D） \(\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{4}\)

\item \textbf{【2001全国卷理11】}一间民房的屋顶有如图三种不同的盖法: （1）单向倾斜；（2）双向倾斜；（3）四向倾斜，记三种盖法屋顶面积分别为 \(P_1,P_2,P_3\)。若屋顶斜面与水平面所成的角都是 \(\alpha\), 则

（A） \(P_3 > P_2 > P_1\) （B） \(P_3 > P_2 = P_1\) （C） \(P_3 = P_2 > P_1\) （D） \(P_3 = P_2 = P_1\)

\item \textbf{【2024武汉九调14】}两个有共同底面顶点正三棱锥\(P-ABC\)与\(Q-ABC\)，它们的各顶点均在半径为1的球面上，若二面角\(P-AB-Q\)的大小为\(120^{\circ}\)，则\(\Delta ABC\)的边长为？

\textbf{【2023长郡十八校第一次联考20】}在梯形\(ABCD\)中,\(AD\parallel BC\),\(AD\perp AB\),\(\displaystyle BC=2AD=\sqrt{6}\),\(\displaystyle AB=\sqrt{5}\),\(AC\)与\(BD\)交于点\(M\),将\(\triangle ABD\)沿\(BD\)翻折至\(\triangle PBD\),使点\(A\)到达点\(P\)的位置.

（1）证明:\(BD\perp PC\);

（2）若平面\(PBC\)与平面\(PBD\)的夹角的余弦值为\(\displaystyle \frac{\sqrt{7}}{7}\),求三棱锥\(P-BCD\)的体积.

\item \textbf{【2023武汉九调8】}已知\(A,B,C,D\)是半径为\(\sqrt{5}\)的球体表面上的四点，\(AB=2,\angle ACB=90^{\circ},\angle ADB=30^{\circ}\)，则平面\(CAB\)与平面\(DAB\)的夹角的余弦值为？

空间中有四个半径为\(1\)的小球,每个球都与其它三个球外切,现另有一小球与这四个球均外切,则该小球的半径为

    \item 在直三棱柱$ABC-A_1B_1C_1$中，$M$为$BB_1$的中点，点$N$在棱$B_1C_1$上，且$B_1N=2NC_1$，点$A,M,N$所确定的平面把三棱柱切割成体积不同的两部分，则较小部分的体积与较大部分的体积之比为？

已知正四面体\(ABCD\)的棱长为\(\displaystyle \sqrt{2}\),动点\(P\)满足\(\displaystyle \overrightarrow{PA}^2+\overrightarrow{PB}^2=\overrightarrow{PC}^2+\overrightarrow{PD}^2\),用所有这样的点\(P\)构成的平面截正四面体,则所得截面的面积为

    \item \textbf{【2023温州一模8】}在三棱锥中$A-BCD$，$AD\perp$平面$BCD$，$\displaystyle \angle ABD+\angle CBD=\frac{\pi}{2},BD=BC=2$。则三棱锥$A-BCD$外接球表面积的最小值为？

\item \textbf{【2021武汉四调8】}在四楼锥\(P-ABCD\)中，\(\overrightarrow{DC}=3\overrightarrow{AB}\)，过直线\(AB\)的平面将四棱锥截成体积相等的两个部分，设该平面与棱\(PC\)交于点\(E\)，则\(\displaystyle \frac{PE}{PC}=\)？

    \item \textbf{【2023武汉二调8】}设$A,B$是半径为3的球$O$表面上两定点，且$\angle AOB=60^{\circ}$，球$O$表面上动点$P$满足$PA=2PB$，则点$P$的轨迹长度为？

\item \textbf{【2021武汉高三质检16】}空间四面体\(ABCD\)中，\(AB=CD=2,AD=BC=2\sqrt{3},AC=4\)，直线\(BD\)与\(AC\)所成的角为\(45^{\circ}\)，则该四面体的体积为？

    \item 正四棱锥的外接球半径与内切球半径之比的最小值为？

\item \textbf{【2024武汉二调8】}在三棱锥\(P-ABC\)中，\(AB=2\sqrt{2},PC=1,PA+PB=4,CA-CB=2\)，且\(PC\perp AB\)，则二面角\(P-AB-C\)的余弦值的最小值为？