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2021 天津 15.在边长为 \(\displaystyle 1\) 的等边三角形 \(\displaystyle ABC\) 中，\(\displaystyle D\) 为线段 \(\displaystyle BC\) 上的动点，\(\displaystyle DE \perp AB\) 且交 \(\displaystyle AB\) 于点 \(\displaystyle E\)，\(\displaystyle DF \parallel AB\) 且交 \(\displaystyle AC\) 于点 \(\displaystyle F\)，则 \(\displaystyle \left|2\overrightarrow{BE} + \overrightarrow{DF}\right|\) 的值为 ______；\(\displaystyle \left(\overrightarrow{DE} + \overrightarrow{DF}\right) \cdot \overrightarrow{DA}\) 的最小值为 ______．

\item 已知函数\(\displaystyle f(x)=ae^{-x}+\sin x-x\).

（1） 若\(f(x)\)在\((0,2\pi)\)单调递减,求实数\(a\)的取值范围；

（2） 证明:\(\forall a\in\mathbb{Z}\),\(f(x)\)至多一个零点.

\item \textbf{【2025新高考I卷11节选】}已知\(A,B,C\)是\(\Delta ABC\)的三个内角，若\(\sin^2 A+\sin^2 B=\sin C\)，证明：\(C=90^{\circ}\)

\footnote{实际上，复数的引进源于解一元三次方程问题，对于某个可因式分解得到三个实数根的方程，如果运用卡尔达诺的三次方程求根公式，其中两个根涉及对负数开平方，这个数理应是一个实数，但我们的运算进行不下去了。在引入复数单位\(\mathrm{i}\)后继续运算，在得到最终结果时，\(\mathrm{i}\)又神奇的消失了。

笛卡尔曾讥笑\(\mathrm{i}\)是一个“虚无的数”，有趣的是，“虚数”这个称谓正是当今\(\mathrm{i}\)的一个主流称呼。 }

（20） （本小题满分 \(\displaystyle 14\) 分） 设函数 \(\displaystyle f(x) = (x-t_1)(x-t_2)(x-t_3)\)，其中 \(\displaystyle t_1, t_2, t_3 \in \mathbf{R}\)，且 \(\displaystyle t_1, t_2, t_3\) 是公差为 \(\displaystyle d\) 的等差数列． （I） 若 \(\displaystyle t_2 = 0, d = 1\)，求曲线 \(\displaystyle y = f(x)\) 在点 \(\displaystyle (0, f(0))\) 处的切线方程； （II） 若 \(\displaystyle d = 3\)，求 \(\displaystyle f(x)\) 的极值； （III） 若曲线 \(\displaystyle y = f(x)\) 与直线 \(\displaystyle y = -(x-t_2) - 6\sqrt{3}\) 有三个互异的公共点，求 \(\displaystyle d\) 的取值范围．