Untitled 9

2.某不透明箱子中有 7 个除颜色外完全相同的小球, 其中 2 个白球, 2 个红球和 3 个黄球, 若采取不放回的方式每次从箱子中随机取出一个球, 当三种颜色的球都被摸到停止摸球, 记此时已摸球的次数为随机变量 \(X\), 则 \(P(X=5)=\)？

3.甲盒中有 \(n\) 个形状相同的球, 编号为 \(1\sim n\), 从中任取一个, 记其编号为 \(X\), 再取一个, 记其编号为 \(Y\), 则 \(P(X>Y)=\)？

4.一种加密传输信号发出信号 “11” 的概率为 \(\dfrac{1}{2}\)，发出信号 “2”，“3”，“4” 三个信号的概率均为 \(\dfrac{1}{6}\). 某次传输信号过程中，传输器一共发出了 \(n\) 次信号，信号接收人员按照传输先后顺序依次记录得到信号序列. 例如，当 \(n=3\) 时，“1123” 为一个发出的信号序列，共有四个数字.

(1) 若 \(n=4\)，记信号序列中数字 2 的个数为 \(X\)，求 \(X\) 的数学期望和方差；

(2) 若 \(n\geq2\)，记信号序列中第 \(n\) 个数为 \(i(i=1,2,3,4)\) 的概率为 \(P(A_n=i)\)，求：

（i）\(P(A_n=1)\)；

（ii）\(P(A_{n-1}=2|A_n=1)\).

7.\textbf{【2009江苏】}对于正整数 \(\displaystyle n\)，用 \(\displaystyle T_n\) 表示关于 \(\displaystyle x\) 的一元二次方程 \(\displaystyle x^2 + 2ax + b = 0\) 有实根的有序数组 \(\displaystyle (a,b)\) 的组数，其中 \(\displaystyle a,b \in \{1,2,\dots,n\}\)（\(\displaystyle a,b\) 可以相等）；对于随机选取的 \(\displaystyle a,b \in \{1,2,\dots,n\}\)（\(\displaystyle a,b\) 可以相等），记 \(\displaystyle P_n\) 为关于 \(\displaystyle x\) 的一元二次方程 \(\displaystyle x^2 + 2ax + b = 0\) 有实数根的概率。

（1） 求 \(\displaystyle T_{n^2}\) 和 \(\displaystyle P_{n^2}\)； （2） 求证：对任意正整数 \(\displaystyle n\)，有 \(\displaystyle P_n > 1 - \frac{1}{\sqrt{n}}\)。

11.一本习题有\(n+1(n\ge 10)\)页，小明做完第一页后，制定了如下的做题计划：从做完第一页后的第一天开始计算，把余下的\(n\)页随机分配在\(2n\)天做完：每天要么选择不做，要么仅做一页，已知最难的题出现在第\(n\)页，设小明做完第一页后的第\(X\)天做到该页。

（1）求\(X\)的分布列；

（2）证明：小明最有可能在第\((2n-2)\)天做到最难的题所在的一页。

12.某同学进行一项投篮测试，若该同学出现连续三次投篮成功，则通过测试；若出现连续两次失败，则未通过测试，已知该同学每次投篮成功率为\(\displaystyle \frac{2}{3}\)，则该同学通过测试的概率为？

5.小昊、小出和小纬在玩真心话大冒险的游戏, 已知三个人被惩罚的概率分别是 \(\displaystyle \frac{1}{4},\frac{1}{4},\frac{1}{2}\), 且一名玩家选真心话后, 下名玩家必选大冒险, 一名玩家选大冒险后, 下名玩家必选真心话, 若本局是小纬选真心话 (记为第 0 局), 记小吴第一次大冒险在第 \(Y\) 局, 则 \(E(Y)=\)？

8.\textbf{【2026“神算杯一模”（B卷）（网络联考）14】}Santa，六月松等5人按某一顺序落座在圆桌的周围，随后他们起立，并随即落座，现每次均以Santa所在位置作为1号位，并按顺时针顺序编号为1号到5号，则两次落座中所在座位编号相同的人数的期望为？

10.\textbf{【2024广州一模14】}随机将\(1,2,\cdots,2n(n\in\mathbb{N^*},n\ge 2)\)这\(2n\)个连续正整数分成\(A,B\)两组，每组\(n\)个数，\(A\)组最大值为\(a\)，\(B\)组最大值为\(b\)，记\(\xi=|a-b|\)，当\(n=3\)时，\(\xi\)的数学期望\(E(\xi)\)为？若对任意\(n\ge 2\)，\(E(\xi)<c\)恒成立，则\(c\)的最小值为？

14.小明参加投篮训练，训练计划是：先投\(n\)个球，若这\(n\)个球都投进，则训练结束，否则要额外投\(m\)个球作为加练，其中\(nm=120,n,m\in\mathbb{N^*}\)，已知小明每次投篮命中的概率为\(\displaystyle\frac{1}{2}\)，要使得小明投篮次数的期望最小，则\(n\)应取？