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【2018清华自主招生10】设数列$\displaystyle \{a_n\}$的前$\displaystyle n$项和为$\displaystyle S_n$，若对任意正整数$\displaystyle n$，总存在正整数$\displaystyle m$，使得$\displaystyle S_n=a_m$，则

（A）$\displaystyle \{a_n\}$可能为等差数列

（B）$\displaystyle \{a_n\}$可能为等比数列

（C）$\displaystyle \{a_n\}$的任意一项均可写成$\displaystyle \{a_n\}$的两项之差

（D）对任意正整数$\displaystyle n$，总存在正整数$\displaystyle m$，使得$\displaystyle a_n=S_m$

\item \textbf{【2024北京10】}已知$M=\{(x,y)|y=x+t(x^2-x),1\leqslant x\leqslant 2,0\leqslant t\leqslant 1\}$是平面直角坐标系中的点集，设$d$是$M$中两点间距离的最大值，$S$是$M$表示的图形的面积，则

（A）$d=3,S<1$（B）$d=3,S>1$

（C）$d=\sqrt{10},S<1$（D）$d=\sqrt{10},S>1$

\item 设 $f$ 是直角坐标平面 $xOy$ 到自身的一个映射, 点 $P(x,y)$ 在映射 $f$ 下的象是点 $Q\left(-\displaystyle \frac{y}{2},\frac{x}{2}\right)$, 记作 $Q=f(P)$. 已知 $P_1(16,8)$, $P_{n+1}=f(P_n)$, 其中 $n=1,2,3,\cdots$. 那么对于任意正整数 $n$

（A） 存在点 $M$, 使得 $|MP_n|\leqslant 10$

（B） 不存在点 $M$, 使得 $|MP_n|\leqslant 5\sqrt{5}$

（C） 存在无数个点 $M$, 使得 $|MP_n|\leqslant 6\sqrt{5}$

（D） 存在唯一的点 $M$, 使得 $|MP_n|\leqslant 8\sqrt{5}$

\item \textbf{【2025温州二模17】}已知函数$f(x)=\ln(x+1)+\displaystyle\frac{ax}{x+1}(a\in\mathbb{R})$。

（1）讨论$f(x)$的单调性；

（2）若$f(x)$在区间$(-1,0)$上恰有一个零点，求$a$的取值范围；

（3）当$a>0$时，解方程$\displaystyle f'(x)-f(x)=\frac{\sqrt{5}-1}{2}-\ln\frac{\sqrt{5}+1}{2}$。

\item \textbf{【2026深圳一模18】}已知函数 $f(x)=\ln x - a\sqrt{x+1}+4$。

（1）当 $a=\sqrt{3}$ 时，求 $f(x)$ 的单调区间；

（2）若 $f(x)$ 有两个零点：

（i）求 $a$ 的取值范围；（ii）证明：$\displaystyle f(x)<\frac{2}{\sqrt{a^2+1}-1}$。

\item \textbf{【2022T8联考22】}已知函数$f(x)=a\ln x-\sin x+x,a\neq0$，设$\displaystyle \theta\in(\pi,\frac{3\pi}{2})$，且$\cos\theta=1+\theta \sin \theta$，证明：当$\theta^2\sin\theta<a<0$时，$f(x)$在$(0,2\pi)$恒有两个极值点。

\item \textbf{【2021雅礼中学高三第五次月考22】}已知函数$f(x)=(2ax^2+bx+1)e^{-x}$，若$f(1)=1$，且方程$f(x)=1$在$(0,1)$内有解，求实数$a$的取值范围。

\item \textbf{【2025台州二模19】}函数$f(x)$的定义域为$D$，记$f(x)$的图象在点$(a,f(a))$处的切线方程为$y=g_a(x)$，定义集合$\displaystyle P_f=\left { a\in D|\forall x\neq a,\frac{f(x)-g_a(x)}{x-a}>0 \right } $，集合$Q_f=\displaystyle \left { a\in D|\forall x\neq a,\frac{f(x)-g_a(x)}{x-a}<0 \right } $。

（1）若$\displaystyle f(x)=\sin (2x-\frac{\pi}{3})$，求$g_{\pi/6}(x)$；

（2）若$f(x)=e^x$，求证：$P_f=\varnothing$；

（3）若$f(x)=(x^2+2x)e^x$，求$P_f\cup Q_f$，并说明理由。

\textbf{【】}函数$f(x)=e^{\sin x}-e^{\cos x}$在$(0,2\pi)$范围内极值点的个数为？

根据某河流观测点的若干年水位数据，得到频率分布直方图（如图）. 若 $p$ 是河流水位大于 $x$ 米的概率，$T=\displaystyle \frac{1}{p}$（单位：年），则称 $T$ 为 $x$ 米水位的重现期. 洪水等级与重现期的关系如下表.

用频率估计概率，估计该观测点处

\choices{47 米水位属于中洪水47 米水位属于中洪水}{特大洪水的最低水位是 48 米特大洪水的最低水位是 48 米}{50 米水位的重现期是 100 年50 米水位的重现期是 100 年}{水位的中位数位于区间 (39,40)（单位：米）水位的中位数位于区间 (39,40)（单位：米）}

【2026“fiddie”模拟考13】袋中有相同大小的 $\displaystyle 5$ 个白球和 $\displaystyle 5$ 个黑球，从中育放回地随机取 $\displaystyle 5$ 次，每次取 $\displaystyle 1$ 个球，记随机变量 $\displaystyle X$ 为取出白球的次数，则 $\displaystyle P(X = 5 | X \geqslant 3) = $。

【2026“fiddie”模拟考14】设双曲线 $\displaystyle C$ 的中心为 $\displaystyle O$。若存在 $\displaystyle C$ 上两点 $\displaystyle A, B$ 使得 $\displaystyle |OA| = |OB| = \frac{\sqrt{2}}{2}|AB|$，则 $\displaystyle C$ 的离心率的取值范围为【2026“fiddie”模拟考17】设 $\displaystyle \odot O: x^2 + y^2 = 1$，动点 $\displaystyle P$ 在 $\displaystyle \odot O$ 上且不在坐标轴上，$\displaystyle \odot O$ 在 $\displaystyle P$ 处的切线与 $\displaystyle x$ 轴，$\displaystyle y$ 轴的交点分别为 $\displaystyle A, B$，向量 $\displaystyle \overrightarrow{OQ} = 2\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}$。记动点 $\displaystyle Q$ 的轨迹为 $\displaystyle C$。（1）求 $\displaystyle C$ 的方程；（2）设椭圆 $\displaystyle E: m^2x^2 + n^2y^2 = 1 (m > 0, n > 0)$ 的右顶点为 $\displaystyle M$, 上顶点为 $\displaystyle N$。若 $\displaystyle E$ 与 $\displaystyle C$ 有且仅有 $\displaystyle 4$ 个公共点，证明：直线 $\displaystyle MN$ 过定点。

【2025“fiddie”模拟考5】设 $\displaystyle a > 0$。若圆 $\displaystyle C: (x-2a)^2 + (y-a)^2 = 5$ 的一条切线的方程为 $\displaystyle y = 2x$，则 $\displaystyle a =$ （）（A）$\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{5}$ （B）$\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{3}$ （C）$\displaystyle 1$（D）$\displaystyle \frac{5}{3}$

【2025“fiddie”模拟考10】临近期末考试，同学甲每天至少复习数学和物理中的一门课。在每天，同学甲复习数学的概率为 $\displaystyle 0.8$，复习物理的概率为 $\displaystyle 0.7$，且不同的日期复习的情况相互独立。则（A）一天之中，同学甲既复习数学也复习物理的概率为 $\displaystyle 0.56$ （B）一天之中，同学甲仅复习数学的概率为 $\displaystyle 0.3$ （C）五天之中，同学甲复习数学的天数的均值为 $\displaystyle 4$ （D）五天之中，同学甲仅复习物理的天数的均值为 $\displaystyle 1$

【2025“fiddie”模拟考12】设 $\displaystyle x > 0, x \neq \frac{1}{3}, x \neq \frac{1}{2}$。若 $\displaystyle \log_{3x} 4 = \log_{2x} 16$，则 $\displaystyle x = $。

【2025“fiddie”模拟考14】已知等边 $\displaystyle \triangle ABC$ 的三个顶点在抛物线 $\displaystyle y^2 = 4x$ 上，且 $\displaystyle \triangle ABC$ 的其中一条边所在直线的斜率为 $\displaystyle 2$。记 $\displaystyle \triangle ABC$ 的重心为 $\displaystyle G$，则 $\displaystyle G$ 到 $\displaystyle x$ 轴的距离为

【2025“fiddie”模拟考16】已知数列 $\displaystyle \{a_n\}$ 满足 $\displaystyle a_1 = 1, a_{n+1} = \left(1 + \frac{1}{n}\right)a_n + \frac{n+1}{3}$。
（1）证明：$\displaystyle \{\frac{a_n}{n}\}$ 是等差数列，并求 $\displaystyle \{a_n\}$ 的通项公式；
（2）设 $\displaystyle m$ 为整数，且对任意 $\displaystyle n \in \mathbf{N}^*$，$m \geqslant \frac{4}{a_1} + \frac{4}{a_2} + \dots + \frac{4}{a_n}$，求 $\displaystyle m$ 的最小值。

【2025“fiddie”模拟考19】设函数 $\displaystyle f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$，其中 $\displaystyle a, b, c \in \mathbf{Z}$。对于 $\displaystyle n \in \mathbf{N}^*$，定义 $\displaystyle f_1(x) = f(x), f_{n+1}(x) = f(f_n(x))$。记集合 $\displaystyle S_f = \{x \in \mathbf{Q} | \exists n \in \mathbf{N}^*, f_n(x) = x\}$，函数 $\displaystyle g(x) = f(x) - x$。（1）若 $\displaystyle a = -2, b = 4, c = 0$，求： ( i ) $\displaystyle g(x)$ 的单调区间； ( ii ) $\displaystyle S_f$ 的元素个数；（2）记 $\displaystyle x_0 = 1 + |a| + |b| + |c|$。证明：当 $\displaystyle x > x_0$ 时，$\displaystyle g(x) > 0$；当 $\displaystyle x < -x_0$ 时，$\displaystyle g(x) < 0$；（3）证明：$\displaystyle S_f \subseteq \mathbf{Z}$，且 $\displaystyle S_f$ 只有有限个元素。

【2026“集英苑”5月模拟考6】已知样本数据 $\displaystyle 1, 2, 4, 5, x$ 的平均数为 $\displaystyle \mu$，中位数为 $\displaystyle m$，设甲：$\displaystyle \mu = m$，乙：$\displaystyle x = 3$，则（A）甲是乙的充分条件但不是必要条件（B）甲是乙的必要条件但不是充分条件（C）甲是乙的充要条件（D）甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

【2026“集英苑”5月模拟考7】若直线 $\displaystyle l_1: y = k(x-1) + m$ 与直线 $\displaystyle l_2: y = -\frac{1}{k}(x-1) + m$ 均与圆 $\displaystyle x^2 + (y-1)^2 = 4$ 相切，则 $\displaystyle m$ 的不同取值共有（A）$\displaystyle 0$ 个（B）$\displaystyle 1$ 个（C）$\displaystyle 2$ 个（D）$\displaystyle 3$ 个

【2026“集英苑”5月模拟考10】已知 $\displaystyle \frac{\sin^4 \theta}{2} + \frac{\cos^4 \theta}{3} = \frac{1}{5}$，则下列值中可以确定的是（A）$\displaystyle \sin 2\theta$ （B）$\displaystyle \cos 2\theta$ （C）$\displaystyle \sin^2 \left(\theta + \frac{\pi}{6}\right)$ （D）$\displaystyle \tan \theta \tan 2\theta$

【2026“集英苑”5月模拟考11】数列 $\displaystyle \{a_n\}, \{d_n\}$ 满足：对任意正整数 $\displaystyle n$，可以改变 $\displaystyle a_1, a_2, \dots, a_{3n}$ 中至多 $\displaystyle 2n$ 项的值，使得 $\displaystyle 3n$ 项依次成公差为 $\displaystyle d_n$ 的等差数列。设集合 $\displaystyle \{x | x = d_i, 1 \leqslant i \leqslant n\}$ 的元素个数为 $\displaystyle c_n$，则（A）$\displaystyle \{a_n\}$ 是等差数列（B）$\displaystyle c_3$ 可能为 $\displaystyle 3$ （C）$\displaystyle c_{12}$ 不可能为 $\displaystyle 12$ （D）$\displaystyle c_n < 10 + \ln n$

【2026“集英苑”5月模拟考14】在正六边形 $\displaystyle ABCDEF$ 中，将四边形 $\displaystyle ABCF$ 沿 $\displaystyle CF$ 翻折至四边形 $\displaystyle A'B'CF$，设直线 $\displaystyle A'D$ 与平面 $\displaystyle CDEF$ 所成角为 $\displaystyle \alpha$，则 $\displaystyle \sin \alpha$ 的最大值为

【2026“集英苑”5月模拟考17】已知抛物线 $\displaystyle C: x^2 = 2py (p > 0)$，直线 $\displaystyle l: x - y - 2 = 0$，且 $\displaystyle C$ 的焦点到 $\displaystyle l$ 的距离为 $\displaystyle \frac{3}{2}\sqrt{2}$。 (1) 求 $\displaystyle C$ 的方程； (2) 若三点 $\displaystyle P, A, B$ 均在 $\displaystyle C$ 上，直线 $\displaystyle PA, PB$ 分别交 $\displaystyle l$ 于 $\displaystyle D, E$，且满足 $\displaystyle P$ 是线段 $\displaystyle AD$ 和 $\displaystyle BE$ 的中点，求 $\displaystyle \triangle PDE$ 面积的最小值。

【2026“集英苑”5月模拟考18】已知函数 $\displaystyle f(x) = e^x - e^{b-x} - ax$。 (1) 若 $\displaystyle a = 0, b = 1$，求 $\displaystyle f(x)$ 的单调区间； (2) 已知 $\displaystyle f(x)$ 有两个极值点 $\displaystyle x_1, x_2 (x_1 < x_2)$。 (i) 证明：$\displaystyle \frac{b}{a} < \frac{1}{e}$； (ii) 已知 $\displaystyle b = 0$。若实数 $\displaystyle \lambda$ 满足：对任意 $\displaystyle a$，均有 $\displaystyle f(x_2) - f(x_1) < \lambda a + 1$，求 $\displaystyle \lambda$ 的取值范围。

【2026“集英苑”5月模拟考19】甲和乙进行游戏：箱子里有 $\displaystyle 200$ 个小球，其中一半标号为 $\displaystyle 1$，一半标号为 $\displaystyle 2$。给定正整数 $\displaystyle k$，甲在箱子里随机抽取 $\displaystyle k$ 次，每次抽取 $\displaystyle 1$ 个小球并放回，记抽到小球的编号之和为 $\displaystyle S_k$。乙在箱子里不放回地随机抽取 $\displaystyle 100$ 个小球，记抽到小球的编号之和为 $\displaystyle T$。当且仅当 $\displaystyle S_k \in [T, T + 100]$ 时甲获得游戏胜利，设甲获得胜利的概率为 $\displaystyle p(k)$。 (1) 求 $\displaystyle S_3$ 的分布列； (2) 证明：$\displaystyle p(99) < \frac{1}{2}$； (3) 若 $\displaystyle p(k)$ 的最大值为 $\displaystyle p(k_0)$，求正整数 $\displaystyle k_0$。

【2023“fiddie”模拟测试10】设 $\displaystyle S_n$ 是数列 $\displaystyle \{a_n\}$ 的前 $\displaystyle n$ 项和。下面几个条件中，能推出 $\displaystyle \{a_n\}$ 是等差数列的为（A）当 $\displaystyle n \in \mathbf{N}^*$ 时，$\displaystyle S_n = a_n$ （B）当 $\displaystyle n \in \mathbf{N}^*$ 时，$\displaystyle S_n = na_n$ （C）当 $\displaystyle n \in \mathbf{N}^*$ 时，$\displaystyle S_n = a_n a_{n+1}$ （D）当 $\displaystyle n \in \mathbf{N}^*$ 时，$\displaystyle S_n = \frac{n+1}{2} a_n$

【2023“fiddie”模拟测试19】设正项数列 $\displaystyle \{a_n\}$ 满足 $\displaystyle a_1 = 1, a_n = \frac{2a_{n+1}}{1 - a_{n+1}^2}, n \in \mathbf{N}^*$。数列 $\displaystyle \{x_n\}$ 满足 $\displaystyle a_n = \tan x_n$，其中 $\displaystyle x_n \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right), n \in \mathbf{N}^*$。已知如下结论：当 $\displaystyle x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ 时，$\displaystyle \sin x < x < \tan x$。（1）求 $\displaystyle \{x_n\}$ 的通项公式；（2）证明：$\displaystyle n - \frac{\pi^2}{12} < \frac{1}{a_1^2+1} + \frac{1}{a_2^2+1} + \dots + \frac{1}{a_n^2+1} < n$

【2023“fiddie”模拟测试20】椭圆 $\displaystyle C: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点为 $\displaystyle F(1, 0)$，$\displaystyle O$ 为坐标原点。过点 $\displaystyle F$ 的直线 $\displaystyle l$ 交椭圆 $\displaystyle C$ 于 $\displaystyle A, B$ 两点。
（1）若直线 $\displaystyle l$ 与 $\displaystyle x$ 轴垂直，并且 $\displaystyle OA \perp OB$，求 $\displaystyle a$ 的值；
（2）若直线 $\displaystyle l$ 绕点 $\displaystyle F$ 任意转动，当 $\displaystyle A, O, B$ 不共线时，都满足 $\displaystyle \angle AOB$ 恒为钝角，求 $\displaystyle a$ 的取值范围。