Untitled 15

\item

\item \textbf{【】}已知函数\(f(x)=e^{ax}\sin x\)，若\(\displaystyle x\leqslant \frac{\pi}{2}\)时，\(f(x)\geqslant x\)恒成立，求正实数\(a\)的取值范围。

\item \textbf{【】}已知函数 \(\displaystyle f(x)=e^x-\frac{a}{x}\ (a\in\mathbb{R})\)。

（1）讨论函数 \(f(x)\) 零点个数；

（2）若 \(|f(x)|>a\ln x-a\) 恒成立，求 \(a\) 的取值范围

\item \textbf{【】}已知函数\(f(x)=a^{x-1}-\log_a x,\ a>1\)。

（1）若\(a=e\)，证明：\(f(x)\ge1\)；

（2）若关于\(x\)的不等式\(f(x)<1\)的解集为集合\(\displaystyle B\subseteq(\frac{1}{a},a)\)，求\(a\)范围。

\item \textbf{【2022长郡十五校联考22】}\(\displaystyle e^x-2(a+1)x+\frac{3}{2}\geqslant\frac{1}{2}x^2+2(a+1)^2\)在\(x\in[0,+\infty)\)恒成立，求\(a\)的取值范围。

\item \textbf{【2023师大附中月考一22】}已知函数\(\displaystyle f(x)=(x-a)(e^x+1),g(x)=ax\ln x+x+\frac{1}{e^2}\)，设\(F(x)=\max(f(x),g(x))\)。当\(x>0\)时，\(F(x)\geqslant 0\)，求\(a\)的取值范围。

\item \textbf{【2008湖南理21】}已知函数\(f(x)=\ln^2(1+x)-\displaystyle\frac{x^2}{1+x}\)。

（1）求函数\(f(x)\)的单调区间；

（2）若不等式\(\displaystyle (1+\frac{1}{n})^{n+\alpha}\leqslant e\)对任意的\(n\in\mathbb{N^*}\)都成立，求\(\alpha\)的最大值。

\item \textbf{【2014北京18加强】}（1）当 \(0 \leqslant x \leqslant \pi\) 时，若 \(m(\pi - x) \leqslant 1\)，求 \(m\) 的取值范围；

（2）设集合 \(S = \{x \mid \sin x \leqslant \pi x(\pi - x)\}\)，证明： \(\displaystyle \left[0, \frac{\pi}{2}\right] \subseteq S\) 是 \(\displaystyle \left[\frac{\pi}{2}, \pi\right] \subseteq S\) 的充要条件；

（3）若不等式 \(a x(\pi - x) \leqslant \sin x \leqslant b x(\pi - x)\) 对于任意 \(0 \leqslant x \leqslant \pi\) 恒成立，求实数 \(a\) 的最大值与实数 \(b\) 的最小值。

\item \textbf{【2023全国甲卷21（2）】}已知函数\(\displaystyle f(x)=ax-\frac{\sin x}{\cos^3x},x\in\left ( 0,\frac{\pi }{2} \right )\)，若\(f(x)<\sin2x\)，求\(a\)的取值范围。

\item \textbf{【2024成都零诊8】}已知\(a\)为常数，函数\(f(x)=(x-a)\ln x\)存在极大值，则不等式\(f(x)<0\)的解集为

（A）\((0,a)\)（B）\((1,a)\)（C）\((a,1)\)（D）\((0,1)\)

\item \textbf{【】}已知函数\(f(x)=x+\cos x -a\sin x\)，其中\(a\)为常数。若\(f(x)\)在区间\(\displaystyle (0,\frac{\pi}{2})\)上有且仅有一个极值点，求\(a\)的取值范围。