概率补充习题

【2017全国II，文11改】从分别写有 \(1,2,\dots,n\) 的 \(n\) 张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为多少？

设随机变量 \(X \sim N(1,2)\)，令 \(f(t) = E[(X + t)^2]\)，则 \(f(t)\) 的最小值点和最小值分别为（A）1, 2（B）1, 4（C）-1, 2（D）-1, 4

设随机变量 \(X\) 的概率分布为 \(P\{X=k\} = \dfrac{1}{2^{k+1}} + \dfrac{1}{3^k} \ (k=1,2,\dots)\)，则对于正整数 \(m\)，\(n\)，有（A）\(P\{X>m+n \mid X>m\} = P\{X>m\}\)（B）\(P\{X>m+n \mid X>m\} = P\{X>n\}\)（C）\(P\{X>m+n \mid X>m\} > P\{X>m\}\)（D）\(P\{X>m+n \mid X>m\} > P\{X>n\}\)

设古典概型的样本空间\(\Omega=\{1,2,\dots,n\}\)，事件\(A,B\subset\Omega\)，且\(0<P(A)<1,\ 0<P(B)<1\)。（1）当\(n=10\)时，构造相互独立的事件\(A,B\)。（2）证明：存在相互独立的事件\(A,B\)的充要条件是\(n\)是合数。

题目已知随机事件\(A,B,C\)发生的概率均为\(\dfrac{2}{3}\)，且这三个事件两两独立。试求\(P(ABC)\)的所有可能取值。

已知袋中有10个球，其中4个白球，2个黑球，4个红球，这些球除颜色外完全相同。从袋子里随机取出一个球，操作规则如下： \begin{itemize} \item 若取出的是红球，则不放回红球，放入一个白球； \item 若取出的是白球，则不放回白球，放入一个红球； \item 若取出的是黑球，则放回一个黑球和一个红球。 \end{itemize} 记\(n\)次操作后，袋中红球的个数为\(X_n\)，\(n\in\mathbb{N}^*\)。（1）求\(X_1\)的分布列与数学期望；（2）证明：在\(n\)次操作后，袋中总球数的期望大于\(\sqrt{4n+100}\)；（3）证明：\(E(X_{200})>14\)。注：若随机变量\(X\)的所有可能取值均为正数，则\(E(X)E\left(\dfrac{1}{X}\right)\geqslant1\)；\(E(X+Y)=E(X)+E(Y)\)。

现有一款益智棋类游戏，棋盘由全等的正三角形组成（如图所示），假设棋盘足够大。一颗质地均匀的正方体骰子，六个面分别以\(1\sim6\)标号。在棋盘上，以\(O\)为原点建立平面直角坐标系，设点\(A\)的坐标为\((1,0)\)。棋子初始位置为坐标原点，投掷骰子\(n\)次，用\(X_{n}\)表示第\(n\)次投掷后棋子的位置（\(X_{0}\)为坐标原点），规定： [ \overrightarrow{OX_{n}}= \begin{cases} \overrightarrow{OX_{n-1}}+\boxed{u}{k},&\text{第 }n\text{ 次掷得奇数},\ \overrightarrow{OX{n-1}},&\text{第 }n\text{ 次掷得偶数}, \end{cases} ] 其中向量\(\boxed{u}_{k}=\left(\cos\dfrac{2k\pi}{3},\sin\dfrac{2k\pi}{3}\right)(k\in\mathbb{Z})\)，\(k\)为前\(n\)次投掷过程中，掷得偶数的总次数。（1）求点\(X_{2}\)所有可能的坐标；（2）求投掷骰子\(8\)次后棋子在原点的概率；（3）投掷骰子\(80\)次，记棋子在原点且投掷过程中掷得奇数的次数恰为\(r(0\leqslant r\leqslant80)\)的概率为\(p(r)\)，求\(p(r)\)的表达式，并指出当\(r\)为何值时，\(p(r)\)取得最大值。

(2026湖北十一校3月联考)一辆汽车上有\(n\)个座位,编号从\(1\)到\(n\).现在编号为\(1\)到\(n\)的乘客依次上车,编号为\(1\)的乘客比较顽皮,上了车后是随机等可能的选择座位坐下,编号为\(2\)的乘客上了车后会先看看\(2\)号座位有没有人,如果有,那么他从剩下的空座位中随机等可能的选择座位坐下,如果\(2\)号座位没有人,那么他就在\(2\)号座位坐下,编号为\(3\)及后面的乘客的选择座位方式与\(2\)号相同,即自己对应的号码座位上有人,则从剩下座位中随机等可能挑选座位坐下,如果自己对应的号码座位上没有人,则坐在自己对应号码的座位上. (1) 当\(n=4\)时,求\(4\)号乘客坐在编号\(4\)号座位上的概率\(P\); (2) 当\(n=4\)时,设\(X\)为刚好坐在了自己座位上的乘客数(规定:编号为\(i\)的乘客坐在了编号为\(i\)的座位上为坐在了自己的座位上),求随机变量\(X\)的期望.

抛掷一个均匀硬币 \(N\) 次，记随机变量 \(X\) 为正面朝上的次数。定义 \(X\) 的平均偏差 \(\delta\) 为 [ \delta = E(|X - \mu|). ] 其中，\(\mu\) 是 \(X\) 的均值，即 \(\mu = E(X)\)。

（1）设 \(N = 2n\)，\(n\) 是正整数。（ⅰ）证明：\(P(X \le n - 1) = \dfrac{1}{2}(1 - P(X = n))\)。（ⅱ）证明：\(\delta = \sum_{r=0}^{n-1} (n - r) \binom{2n}{r} \dfrac{1}{2^{2n-1}}\)。（ⅲ）证明：当 \(r > 0\) 时，\(r \binom{2n}{r} = 2n \binom{2n-1}{r-1}\)，并证明 \(\delta = \dfrac{n}{2^{2n}} \binom{2n}{n}\)。

（2）对 \(N = 2n + 1\)，推导 \(\delta\) 的类似表达式。

（1）证明：当 \(1 \le r \le 2n\) 时， [ r \binom{2n}{r} = (2n + 1 - r) \binom{2n}{2n + 1 - r}. ] 从而证明： [ \sum_{r=0}^{2n} r \binom{2n}{r} = 2\sum_{r=n+1}^{2n} r \binom{2n}{r}. ]

（2）投掷一枚均匀的硬币 \(2n\) 次，随机变量 \(X\) 的取值为正面朝上的次数与反面朝上的次数中的最大值，而如果恰有 \(n\) 次正面朝上和 \(n\) 次反面朝上，则 \(X = n\)。证明： [ E(X) = n\left(1 + \dfrac{1}{2^{2n}} \binom{2n}{n}\right). ]

（3）证明：\(\dfrac{1}{2^{2n}} \binom{2n}{n}\) 随着 \(n\) 的增加而减少。

（4）在一次游戏中，你可以选择 \(n\) 的一个值并支付 \(n\) 元，然后投掷一枚均匀的硬币 \(2n\) 次。获得的奖金是正面朝上的次数与反面朝上的次数中的最大值（单位：元）。而如果恰有 \(n\) 次正面朝上和 \(n\) 次反面朝上，则奖金为 \(n\) 元。应如何选取 \(n\)，使得一次游戏中，平均每花费一元钱所得奖金的均值最大？

设随机变量 \(X\) 服从正态分布 \(N(0,1)\)。已知部分小概率值和相应的临界值如下表： \begin{center} \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \(\alpha\) & 2.706 & 3.841 & 5.024 & 6.635 & 7.879 & 10.828 \ \hline \(P(\chi^2 \ge \alpha)\) & 0.1 & 0.05 & 0.025 & 0.01 & 0.005 & 0.001 \ \hline \end{tabular} \end{center} 若实数 \(m\) 满足 \(P(m \le X < 3) = 0.025\)，则 A. \(2.706 < m^2 < 3.841\) B. \(3.841 < m^2 < 5.024\) C. \(5.024 < m^2 < 6.635\) D. \(6.635 < m^2 < 7.879\)

抛掷一个均匀硬币 \(N\) 次，记随机变量 \(X\) 为正面朝上的次数。定义 \(X\) 的平均偏差 \(\delta\) 为 \(\delta=E(|X-\mu|)\)，其中，\(\mu\) 是 \(X\) 的均值，即 \(\mu=E(X)\)。（1）设 \(N=2n\)，\(n\) 是正整数。（ⅰ）证明：\(P(X\leq n-1)=\dfrac{1}{2}(1-P(X=n))\)。（ⅱ）证明：\(\delta=\sum_{r=0}^{n-1}(n-r)\binom{2n}{r}\dfrac{1}{2^{2n-1}}\)。（ⅲ）证明：当 \(r>0\) 时，\(r\binom{2n}{r}=2n\binom{2n-1}{r-1}\)，并证明 \(\delta=\dfrac{n}{2^{2n}}\binom{2n}{n}\)。（2）对 \(N=2n+1\)，推导 \(\delta\) 的类似表达式。