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\item \textbf{【2009课标全国21(2)】}已知函数 $f(x)=(x^3+3x^2+ax+b)e^{-x}$。若 $f(x)$ 在 $(-\infty,\alpha), (2,\beta)$ 单调增加，在 $(\alpha,2), (\beta,+\infty)$ 单调减少，证明 $\beta - \alpha > 6$。

\item 设函数 $\displaystyle f(x) = \frac{\ln x}{x+1} - \ln x + \ln(x+1)$

（1）求 $f(x)$ 的单调区间和极值

（2）是否存在实数 $a$，使得关于 $x$ 的不等式 $f(x) \ge a$ 的解集为 $(0, +\infty)$？若存在，求 $a$ 的取值范围；若不存在，试说明理由。

\item \textbf{【2026江南十校高三联考19（2）】}已知函数$f(x)=e^x\cos 3x-ae^{3x}\cos x$，若$f(x)$在$\displaystyle x\in(0,\frac{\pi}{4})$上没有零点，求实数$a$的取值范围。

\item \textbf{【2016全国II卷理21】}

（1）讨论函数$f(x)=\displaystyle \frac{x-2}{x+2}e^x$的单调性，并证明当$x>0$时$(x-2)e^x+x+2>0$；

（2）证明：当$a\in[0,1)$时，函数$g(x)=\displaystyle \frac{e^x-ax-a}{x^2}$有最小值，设$g(x)$的最小值为$h(a)$，求函数$h(a)$的值域。

\item \textbf{【2017全国II卷理21】}已知函数$f(x)=ax^2-ax-x\ln x$，且$f(x)\ge 0$。

（1）求$a$；

（2）证明：$f(x)$存在唯一的极大值点$x_0$，且$\displaystyle \frac{1}{e^2}<f(x_0)<\frac{1}{4}$。

\item \textbf{【2018江苏19】}记 $f'(x),g'(x)$ 分别为函数 $f(x),g(x)$ 的导函数. 若存在 $x_0\in\mathbf{R}$, 满足 $f(x_0)=g(x_0)$ 且 $f'(x_0)=g'(x_0)$, 则称 $x_0$ 为函数 $f(x)$ 与 $g(x)$ 的一个 “$S$ 点”。

（1）证明: 函数 $f(x)=\displaystyle x$ 与 $g(x)=\displaystyle x^2+2x-2$ 不存在 “$S$ 点”；

（2）若函数 $f(x)=\displaystyle ax^2-1$ 与 $g(x)=\displaystyle \ln x$ 存在 “$S$ 点”, 求实数 $a$ 的值；

（3）已知函数 $f(x)=\displaystyle -x^2+a$, $g(x)=\displaystyle \dfrac{be^x}{x}$. 对任意 $a>0$, 判断是否存在 $b>0$, 使函数 $f(x)$ 与 $g(x)$ 在区间 $(0,+\infty)$ 内存在 “$S$ 点”, 并说明理由。

\item \textbf{【2015广东理19】}设 $a>1$, 函数 $f(x)=\displaystyle (1+x^2)\mathrm{e}^x-a$。

（1）求 $f(x)$ 的单调区间；

（2）证明: $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上仅有一个零点；

（3）若曲线 $y=f(x)$ 在点 $P$ 处的切线与 $x$ 轴平行, 且在点 $M(m,n)$ 处的切线与直线 $OP$ 平行 ($O$ 是坐标原点), 证明: $\displaystyle m\le \sqrt[3]{a-\frac{2}{\mathrm{e}}}-1$。

\item \textbf{【2023福建省质检15】}已知函数$f(x)=\begin{cases}e^{-2x}-1,x\le0,\\ \displaystyle \frac{1}{2}\ln(x+1),x>0.\end{cases}$若$x(f(x)-a|x|)\le0$，则$a$的取值范围是$(\triangle)$

\item \textbf{【2017全国II卷文21（2）】}设函数 $f(x)=(1-x^2)e^x$。当 $x\geqslant0$ 时，$f(x)\leqslant ax+1$，求 $a$ 的取值范围。

\item \textbf{【2006全国I卷21】}已知函数 $\displaystyle f(x)=\frac{1+x}{1-x}e^{-ax}$.

（1）设 $\displaystyle a>0$，讨论 $\displaystyle y=f(x)$ 的单调性；

（2）若对任意 $\displaystyle x\in(0,1)$ 恒有 $\displaystyle f(x)>1$，求 $\displaystyle a$ 的取值范围。

\item \textbf{【2012全国21】}若$f(x)=e^x-(a+1)x+b\ge0$恒成立，求$(a+1)b$的最大值。

\item \textbf{【2016四川21（2）】}设函数$f(x)=ax^2-a+\ln x$，其中$a\in\mathbb{R}$。

确定$a$的所有可能取值，使得$\displaystyle f(x)>\frac{1}{x}-e^{1-x}$在区间$(1,+\infty)$内恒成立。

1	`\item \textbf{【2022新高考II卷22（2）】}`

已知函数$f(x)=xe^{ax}-e^x$，当$x>0$时，$f(x)<-1$,求$a$的取值范围。

\item \textbf{【2008全国II卷22（2）】}设函数 $\displaystyle f(x)=\frac{\sin x}{2+\cos x}$. 如果对任何 $\displaystyle x\geqslant 0$，都有 $\displaystyle f(x)\leqslant ax$，求 $\displaystyle a$ 的取值范围。

\item \textbf{【2011浙江文21】}设函数 $\displaystyle f(x)=a^2\ln x-x^2+ax$，$\displaystyle a>0$。

（1）求 $\displaystyle f(x)$ 的单调区间；

（2）求所有的实数 $\displaystyle a$，使 $\displaystyle e-1\leqslant f(x)\leqslant e^2$ 对 $\displaystyle x\in[1,e]$ 恒成立。

\item \textbf{【2026浙江强基联盟开学考18】}已知函数$f(x)=\sin x+mx(x\geqslant 0)$。

（1）若函数$f(x)$的最大值为$0$，求$m$的取值范围；

（2）证明：当$x\geqslant 0$时，有$\sin x-\sin 3x\geqslant-2x$；

（3）若对任意$x\geqslant 0$，都有$|\sin x-\sin 3x|\leqslant ax$成立，求实数$a$的取值范围。

\item \textbf{【2011浙江22】}设函数$f(x)=(x-a)^2\ln x,a\in\mathbb{R}$。求$a$取值范围，使得对任意的$x\in(0,3e]$，恒有$f(x)\leqslant4e^2$成立。

\item \textbf{【2005辽宁22】}函数 $y = f(x)$ 在区间 $(0,+\infty)$ 内可导, 导函数 $f'(x)$ 是减函数, 且 $f'(x) > 0$. 设 $x_0 \in (0,+\infty)$, $y = kx + m$ 是曲线 $y = f(x)$ 在点 $(x_0,f(x_0))$ 处的切线方程, 并设函数 $g(x) = kx + m$。

（1）用 $x_0$、$f(x_0)$、$f'(x_0)$ 表示 $m$；

（2）证明: 当 $x_0 \in (0,+\infty)$, $g(x) \geqslant f(x)$；

（3）若关于 $x$ 的不等式 $\displaystyle x^2 + 1 \geqslant ax + b \geqslant \frac{3}{2}x^{\frac{2}{3}}$ 在 $[0,+\infty)$ 上恒成立, 其中 $a$、$b$ 为实数, 求 $b$ 的取值范围及 $a$ 与 $b$ 所满足的关系。

\item \textbf{【2020江苏19】}已知关于 $x$ 的函数 $y=f(x),y=g(x)$ 与 $h(x)=kx+b\ (k,b\in\mathbb{R})$ 在区间 $D$ 上恒有 $f(x)\geqslant h(x)\geqslant g(x)$。

（1）若 $f(x)=x^2+2x$, $g(x)=-x^2+2x$, $D=(-\infty,+\infty)$, 求 $h(x)$ 的表达式；

（2）若 $f(x)=x^2-x+1$, $g(x)=k\ln x$, $h(x)=kx-k$, $D=(0,+\infty)$, 求 $k$ 的取值范围；

（3）若 $f(x)=x^4-2x^2$, $g(x)=4x^2-8$, $h(x)=4(t^3-t)x-3t^4+2t^2\ (0<|t|\le\sqrt{2})$, $D=[m,n]\subseteq[-\sqrt{2},\sqrt{2}]$, 求证: $n-m\le\sqrt{7}$。

\item \textbf{【2026“神算杯一模”（B卷）（网络联考）18节选】}

（1）已知$a>0$，若$\sin x^a>(\sin x)^a$在$x\in(0,1)$恒成立，求$a$的取值范围；

（2）若存在$a>1$，使得$\sin x^a>(\sin x)^a$在$x\in(0,b)$恒成立，求$b$的取值范围。

\item \textbf{【】}已知函数 $f(x) = x e^{-x}$. 设 $k$ 为正数，则对于 $u = f(\ln k)$，$v = f(\ln 2k)$，$w = f(2\ln k)$ 这三个数

（A）$v$ 可能比 $u$ 和 $w$ 都小

（B）$w$ 不可能比 $u$ 和 $v$ 都大

（C）$2u \le v + w$

（D）至少有一个小于 $\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{4}$

\textbf{【2013四川10】}设函数$\displaystyle f(x)=\sqrt{e^x+x-a}(a\in\mathbb{R})$。若曲线$y=\sin x$上存在$(x_0,y_0)$使得$f(f(y_0))=y_0$，则$a$的取值范围是？

\textbf{【2014江苏19（2）】}若关于 $x$ 的不等式 $m(\mathrm{e}^x+\mathrm{e}^{-x})\leqslant \mathrm{e}^{-x}+m-1$ 在 $(0,+\infty)$ 上恒成立, 求实数 $m$ 的取值范围；

\textbf{【2014江苏19（3）节选】}已知$a$为正数，讨论 $\mathrm{e}^{a-1}$ 与 $a^{\mathrm{e}-1}$ 的大小关系。

\item \textbf{【2025浙江学考21】}已知函数$\displaystyle f(x)=\frac{\sin x-1}{\cos x-2},g(x)=\frac{a\cos x+2}{\sin x+1},a\in\mathbb{R}$

（1）若$g(x)$的最小值为0，求$a$的值；

（2）若对任意$x\in \displaystyle [0,\frac{\pi}{3}]$，存在$x_0\in \displaystyle [-\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{3}]$，使得$f(x)\geqslant g(x_0)$恒成立，求$a$的取值范围。

\item 已知函数$f(x)=\sqrt{x}-a\ln x$。

（1）讨论$f(x)$的单调性；

（2）设$k>1$，若$f(x_0)=f(x_0^k)=m$，证明：$m<1$。

\item \textbf{【2014湖南文21】}已知函数 $f(x)=x\cos x-\sin x+1\ (x>0)$。

（1）求 $f(x)$ 的单调区间；

（2）记 $x_i$ 为 $f(x)$ 的从小到大的第 $i\ (i\in\mathbb{N}^*)$ 个零点, 证明: 对一切 $n\in\mathbb{N}^*$, 有 $\displaystyle \frac{1}{x_1^2}+\frac{1}{x_2^2}+\cdots+\frac{1}{x_n^2}<\frac{2}{3}$。

\item \textbf{【2011湖南文22】}设函数 $\displaystyle f(x)=x-\frac{1}{x}-a\ln x$ ($a \in \mathbb{R}$)。

（1）讨论函数 $f(x)$ 的单调性；

（2）若 $f(x)$ 有两个极值点 $x_1$ 和 $x_2$, 记过点 $A(x_1,f(x_1)),B(x_2,f(x_2))$ 的直线斜率为 $k$. 问: 是否存在 $a$, 使得 $k=2-a$? 若存在, 求出 $a$ 的值; 若不存在, 请说明理由。

\item \textbf{【2012湖南理22】}已知函数 $f(x)=\mathrm{e}^{ax} - x$, 其中 $a \neq 0$。

（1）若对一切 $x \in \mathbb{R}, f(x) \ge 1$ 恒成立, 求 $a$ 的取值集合；

（2）在函数 $f(x)$ 的图象上取定两点 $A(x_1,f(x_1)),B(x_2,f(x_2))$ ($x_1 < x_2$), 记直线 $AB$ 的斜率为 $k$. 问: 是否存在 $x_0 \in (x_1,x_2)$, 使 $f'(x_0) > k$ 成立? 若存在, 求 $x_0$ 的取值范围; 若不存在, 请说明理由。

\item \textbf{【2014湖南理22】}已知常数 $a>0$, 函数 $\displaystyle f(x)=\ln(1+ax)-\frac{2x}{x+2}$。

（1）讨论 $f(x)$ 在区间 $(0,+\infty)$ 上的单调性；

（2）若 $f(x)$ 存在两个极值点 $x_1,x_2$, 且 $f(x_1)+f(x_2)>0$, 求 $a$ 的取值范围。

\item \textbf{【2011天津理19】}已知 $a>0$, 函数 $f(x)=\ln x-ax^2,x>0$. ($f(x)$ 的图象连续不断)

（1）求 $f(x)$ 的单调区间；

（2）当 $\displaystyle a=\frac{1}{8}$ 时, 证明: 存在 $x_0 \in (2,+\infty)$, 使 $\displaystyle f(x_0)=f\left(\frac{3}{2}\right)$；

（3）若存在均属于区间 $[1,3]$ 的 $\alpha,\beta$, 且 $\beta-\alpha \ge 1$, 使 $f(\alpha)=f(\beta)$, 证明: $\displaystyle \frac{\ln 3-\ln 2}{5} \leqslant a \leqslant \frac{\ln 2}{3}$。

\item \textbf{【2021新高考I卷22】}已知函数$f(x)=x(1-\ln x)$。

（1）讨论$f(x)$的单调性；

（2）设$a,b$为两个不相等的正数，且$b\ln a-a\ln b=a-b$，证明：$$2<\frac{1}{a}+\frac{1}{b}<e$$